無限が絡むと、ややこしくなるときもあるけれど、工夫をするチャンス！

無限集合だと、有限集合のときと異なることが生じることがあります。　

Gが有限群のとき、部分群Hに含まれている元(要素)の個数を|H|と表します。

a∈Gについて、
元の個数に関して、
　　|Ha|=|H|=|aH|
となります。

このため、Gが有限群だと、
b∈Gについて、
bH⊂Haだと、含まれている元の個数が等しいので、
　　　bH=Ha
となります。

このことから、HのGにおける指数が2だと、HがGの正規部分群ということが導けます。(bとしてaを考えるとOK！)

しかし、Gが無限集合、Hも無限集合という場合だと、
bH⊂Haだけれども、等しい集合かどうかが不明になります。

ここで、右剰余類と左剰余類を工夫して、うまく対を考えます。

すると、たとえ無限集合のときでも、指数が2のときに、正規部分群ということが導けます。

この内容を岩井の数学ブログで解説しています。部分集合の定義だけでなく、うまく対を利用するという考え方。

双対性の議論を学習する前段階として、有限群でないときでも、指数2の部分群は、正規部分群ということの証明！

ちなみに、正規部分群については、タロウ岩井の数学ブログで、軌道分解の観点から、解説をしています。

正規部分群の定義 | 同値な条件、そして剰余群へ | 岩井の数学ブログ

さらに、共役作用に関連して、次のブログ記事も投稿しています。宜しければ、ご覧ください。

共役類 類等式 | 共役作用について、軌道の位数に関して成立する等式【中心の元は一点集合】 | 岩井の数学ブログ

それでは、失礼致します。