複素数関連を基礎から理解をしつつ、役に立ちそうな方法を使う練習
複素数について、高校の数学２や数学Cで学習します。
複素数は、大学の数学でも、複素解析といった微分積分学の向こうの解析学を学習するときに使いますし、代数分野でも、複素数全体が絡む内容が出てきます。
そんな複素数ですが、虚数単位 i が使われて、
α = a+bi (a, b は実数) という表し方をされます。
複素数単元で使われる用語や基本的な記号についての意味を押さえつつ、大学の数学でも使われる対応関係に注目できるように、若干、関数（写像）の対応についても意識をしておくと良いかと思います。
定義から複素数をじっくり考察する
複素数と虚数という用語ですが、数学において同じ定義ではありません。
このことを、複素数全体と虚数全体の集合が、どのように異なるのかを定義に基づいて示しています。
また、共役複素数ですが、
a+bi と a-bi が、共役に当たります。
実は、α = a+bi に対して、
f(α) = a-bi という共役複素数を対応させる関数を考えると、f は複素数全体から、複素数全体への関数となります。
このように、複素数に対して、ただ一つの複素数を対応させるという複素関数を大学の数学で扱うこともあります。
代数分野でも、ノルムもどきを f のように定義して、距離が定義されていないけれども、二つの元（要素）が近いかどうかといったイメージ議論を進めるときもあります。
このような大学の数学とのつながりを意識して、先ほどの記事をブログサイトに投稿しました。
出だしの複素数の内容を高校数学から大学数学へのつながりも意識しておきつつ、やはり高校の複素数平面の内容は気になるところです。
そこで、極形式については、こちらの記事です。
複素数の乗法が、回転を表すというときに、極形式にして、三角関数の加法定理を考えるという内容です。
代数的な乗法と、点という図形を構成するものの回転という幾何的な内容が交錯する複素数平面です。
この記事では、複素数の逆数について触れる場面があります。
この記事では、逆数とは何かということを徹底して解説しています。
計算自体は、単純なことしかしていないのですが、あくまで逆数というものが何かということを全面に出した内容となっています。
計算も大切
図形の一方、計算を用いての証明問題が出題されるときもあります。
1の３乗根という３乗すると 1 になる 1 以外の虚数の一つをオメガといいます。
オメガは昔から高校の複素数分野で受験問題として出題されることがあります。
大学の数学でも、1のn乗根について扱われるので、３乗根で練習をしておくと良いかと思います。
因数定理は、数学２だけでなく数学Cと合わせて、しばしば使います。
数学２との融合内容もあり
この特別な円は、数学２の軌跡の単元で出てきます。
また、この内容を複素数平面で、複素数で扱うこともあります。
そこで、数学２の軌跡の考察から解説をはじめ、数学Cの内容へと進める流れで記事を投稿しました。
実は、軌跡を求めるときに、必要条件を求めてから十分条件も満たしていることを確認しています。
この手の議論の確認で、逆も成立するのかということを見極めることが大切になります。
単元は異なりますが、高一で学習する不等式と論理・集合の内容が土台となります。
次の記事は、論理をトレーニングするためのものとして記事にしました。
数学の論理を鍛えておくと、数学２や数学Cでも役に立ちます。
また、複素数の絶対値を用いて、平面における二点間距離を表したりと、図形的な内容とも関連するので、複素数平面の学習は興味深いかと思います。
また、高校一年と二年を通して、二次方程式の係数と解についての関係を使う問題が扱われます。
まずは、２変数についての対称式の計算に慣れておくと良いかと思います。この記事では、最後に漸化式との融合問題を扱っています。
漸化式を作り、最後に隣接三項間漸化式を解くということをしています。
２変数の対称式に慣れると、次は三つの変数の対称式です。
高校一年のときに、多項式の計算で学習した輪環の順で、形は覚えやすいですが、因数定理と関連させて内容を理解しておくと、盤石かと思います。
虚数の存在を合わせることで、高校の数学から、数が豊かになります。その分、学習をすることが多くなりますが、焦らずに着実に基礎を押さえておくことが大切かと思う次第です。
ちなみに、円の方程式は数学２で学習しますが、数学Cの複素数平面やベクトルとも絡みます。
次の記事は、ベクトルを用いて、円の接線が、どのような方程式になるのかということを解説しています。
図形と方程式の内容を、数学Cとも結びつけて考えるようになっておくと、数学３も連動して、理解が充実するかと思います。
また、平面における二点間距離や空間における二点間距離を定義するのが、中学の数学で学習する、有名な定理です。
数学Iの余弦定理へと拡張させ、サインやコサインに親しんでおくと、極形式の理解にも役立ちます。
これらの記事が、高校の数学の理解の助けとなれれば幸いです。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？