「ビリヤードπ計算機」の熱力学的解法

ビリヤードπ計算機とは、質量の異なる2つの玉を衝突させて、その衝突回数から円周率が求まるという力学的な装置のことである（私が勝手に命名）。
下図のように、水平面上に2つの玉M, m（それぞれ質量を$${M}$$, $${m}$$とし、$${M\ge m}$$）があり、玉Mを静止している玉mに向かって転がすと、玉Mの方が重いため、玉mは、玉Mと壁との間で衝突を繰り返す。

玉Mは、玉mに衝突される度