研究とベンチャーと数学と（その３）

大学新入生に伝えたいのは，講義が面白くなくても線形代数は重要であるということだ．前回，製造業で異常検出に使われている多変量統計的プロセス管理（MSPC）を転用して，てんかん発作を事前に予知できることを示した．今回は，これらの研究にとって線形代数がどれほど大切かを見ていこう．

その前に，前回までの記事を読んでいない人は，「研究とベンチャーと数学と（その１）」「研究とベンチャーと数学と（その２）」をどうぞ．

多変量統計的プロセス管理（MSPC）

前回説明したとおり，（古典的な）多変量統計的プロセス管理（MSPC）は，主成分分析（PCA）を利用して変数間の関係をモデル化することで，異常検出性能を高めている．より具体的には，PCAによる次元圧縮を実施した上で，主成分で張られる部分空間をT2統計量によって，その直交補空間をQ統計量によって管理する．このようにして，MSPCは，監視したい変数の数にかかわらず，変数間の関係を考慮して２つの統計量を算出し，それらに管理限界を設定することで，異常検出を行う．

次元・部分空間・直交・直交補空間

ひとまず主成分分析（PCA）は脇におくとしても，「次元」「部分空間」「直交」「直交補空間」といった言葉が理解できなければ，MSPCが何をしているかは謎のままだろう．どれも線形代数の教科書のはじめに登場する基本的な用語だ．

線形代数がわからなければ，MSPCを使いこなすことができないばかりか，それが何であるかさえ理解できない．

わかったような気になる

多変量統計的プロセス管理（MSPC）を教えてほしいという要望は多い．色々なところで解説したりもする．そういうときには，上図のようなスライドを見てもらいつつ，MSPCのイメージを伝えて，まずは，わかったような気になってもらう．

わかったような気になれれば，誰かがMSPCを使っているのを見ても，拒絶反応を示さなくてすむ．これは使用者にとって朗報だ．訳も分からず反対する人に邪魔されにくくなるのだから．

ただ，わかったような気になったくらいでは，適切に使うことはできない．大切なのは「適切に」という点だ．いくらでもツールはあるのだから，誰でも使うくらいはできる．ボタンを押せば何か計算をして結果を出してくれる．適切に，適材適所で使うことができないのだ．これはMSPCに限らず，どのような方法についても言える．

主成分分析（PCA）

主成分分析（PCA）の話もしよう．PCA は，変数間の相関を考慮してモデルを構築するために，変数の線形結合で与えられる主成分の分散が最大となるように，かつ主成分同士が無相関となるように，主成分を決定する．変数が100個あるなら，最大100個の主成分を導出することができる．ただ，多くの場合，分散が大きな主成分だけを採用して，その他は捨てる．このようにして次元削減を行うことができる．

主成分を求めるためには，データ行列を特異値分解すればいい．あるいは，共分散行列を固有値分解すればいい．実に簡単だ．そう，線形代数を知っていればね．

行列・特異値分解・固有値分解

線形代数以前の話かもしれないが，「行列」を知らないとどうしようもない．数字も知らないのに，足し算や掛け算はできない．それと同じで，行列を知らなければ，多次元空間で何もできない．だから，高校の教科書から「行列」が消えるといった話になると大学関係者らがざわつくわけだ．

「特異値分解」「固有値分解」も線形代数に登場する方法だ．特に固有値分解は，主成分分析を含む多変量解析でいつも使われる道具であるため，データ解析を行うなら，どうしても理解しておく必要がある．

講義が面白くなくても線形代数は重要

というわけで，大学新入生には是非とも「線形代数」を修得して欲しい．わかったような気になるだけでなく，使いこなせるほどに．データ解析も含めて，線形代数を知っていれば，できることが圧倒的に増える．やりたいことができる可能性が高くなる．最高だ．

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