農夫のかけ算ってどんな計算？ 〜エジプト算法：2倍法〜
古代エジプトにはピラミッドをはじめ多くの巨石建造物や彫像が残されています。また世界最古の文字の一つである神聖文字（ヒエログリフ）があり、高い文明を誇っていたことがわかります。しかしこれまでは、古代エジプトに高度な数学が発達していたという認識はありませんでした。むしろ、エジプト数学はとても初歩的なもので、原始的でさえあると思われていました。最近になって、エジプト数学が見直されるようになり、ギリシアやローマの数学、ひいてはヨーロッパの数学に少なからぬ影響を及ぼしているのではないかと思われるようになりました。古代エジプトの人々は数をどのように扱っていたのでしょうか。これから少しずつ古代エジプトの数学の秘密を探っていきたいと思います。
まずは簡単なゲームから始めましょう。2つの数を考えてください。今回は42 と 123 としましょう。この2つの数を並べて書きます。
左の 42 は2で割っていき、右の123 は2倍していきます。左の列は、偶数ならそのまま2で割りますが、奇数のときは1引いてから2で割ります。左の数が1になったら終わります。次に左の列を上から見てゆき、偶数のものは線を引いて消します。日本にはないようですが、ヨーロッパでは「奇数は“よい数”、偶数は“悪い数”」とされています。ですから、「悪い数は消す」と覚えてください。消されずに残った右の列を合計します。合計して得られた答えは何を表していると思いますか？
説明だけでは少しわかりづらいので、以下の表を見ながら計算方法を確認してみましょう。
( 1 ) 2つの数を並べて書きます。
( 2 ) 左の列は2で割り、右の列は2をかけていき、答えを下に書きます。左の列は、偶数ならそのまま2で割りますが、奇数のときは1引いてから2で割ります。左の数が1になったら終わります。
( 3 ) 左の列を上から見てゆき、偶数のものは線を引いて消します。
( 4 ) 消されずに残った右の列を合計します。
今回与えられた42と123では、右の列に残った数の合計は 5166 となります。これは、与えられた 42 × 123 の答えとなっています。すなわち、
となっているのです。皆さんは「 42 × 123 」をどのように計算しますか？電卓で計算するか、筆算で計算する方が多いと思います。ですからこの方法で「かけ算ができる」と言われてもピンとこないかもしれません。今回は42と123の計算をしましたが、好きな数字を2つ考えてこの方法でかけ算ができることを確認してみてください。
ここで、数学のお話で時々キーワードとして現れる2進数について少し触れたいと思います。下の表を見てください。
消された行の右には 0 が、消されなかった行の右には 1 が書かれています。この 1 と 0 の列を下から上に読むと「101010」 となります。これが自然数 42 の2進数（2進表現）になります。このシリーズで扱っていくエジプト算法は、現在私たちが使っているコンピュータの2進数の原理に通じるものがありそうです。2進数についてはまた別の記事でも詳しくお話しようと思います。
上で述べたゲームを「ロシア農夫のかけ算」と呼ぶ人がいますが、ここではこの方法を「農夫のかけ算」と呼ぶことにします。この方法はロシアに限らず中世ヨーロッパでよく用いられていた方法です。
「農夫のかけ算」はなぜうまく働くのでしょうか。もう一度42×123 を見てみましょう。42は偶数なので、2で割ることができます。42×123を計算するとき、42 を2で割って123を2倍しても二つをかけた答えは同じ値になります。すなわち、
です。21は奇数ですから 1を引いて20と1に分けて考えます。
20 は偶数ですから2で割り、相手の246 を2倍します。以下同様に続けます。
「農夫のかけ算」で消されずに残った右の列の合計と同じに結果になりました。この方法を使えば、九九を知らなくても「2倍する」「2で割る」そして「足し算」だけを使って42×123を計算することができるのです。九九を使わずにかけ算ができるなんて不思議だと思いませんか？
実はこの方法は古代エジプトの計算方法にとてもよく似ています。次回のお話では古代エジプトの人々がどのように計算をしていたのか、「古代エジプトのかけ算」について調べてみたいと思います。
▼次のお話
▼数学Webマガジン・マテマティカ 『ピラミッドの謎』
エジプトのピラミッドには多くの謎が隠されています。マテマティカのWeb連載『ピラミッドの謎』では、ピラミッドの数に関する3つの謎「円周率の謎」「黄金比の謎」「地球の緯度の謎」を取り上げます。エジプト文明が栄えた時代の人々の暮らしや、エジプト神話、そして古代エジプトの数学能力など、様々な角度からピラミッドの謎に迫ります！
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