エジプト分数のかけ算Part1　〜2倍表を使って『自然数×エジプト分数』を計算する〜

これまでのお話

　古代エジプトでは自然数のかけ算や割り算は「2倍法」を使って計算していました。やがて古代エジプト人は1より小さい数として2進分数（ホルスの目）を考え出しました。そしてさらにこれを拡張し、エジプト数学の特徴の一つと言われているエジプト分数を考え出したのです。前回のお話ではこのエジプト分数の考え方をご紹介しましたので、今回はエジプト分数を使ったかけ算の方法について詳しくみてみましょう。

古代エジプトの2倍表

　自然数や2進分数のかけ算は2倍法と2分法で計算できます。したがって、単位分数を2倍することと、1/2 倍することができればエジプト分数のかけ算ができます。1/m を 2で割ると 1/2m になります。m が偶数 2n の場合、1/m を2倍すると 1/n となります。つまりmが偶数の場合はそれを半分にすれば単位分数になるので簡単ですが、奇数の場合はうまくいきません。m が奇数の場合、古代エジプト人は図1のような表を使って 2/m を単位分数の和に分解しました。

　この表には2/mを単位分数の和に分解した結果が書かれています。mは101までの奇数です。つまりこの表を見れば、分子が2で分母が奇数の分数を、即座に単位分数の和で表すことができるのです。この表を【 2倍表 】と呼ぶことにします。2倍表には、1/3 と 2/3 以外は、分母だけが書かれています。
　たとえば m が5 のとき「 3　15 」とあるのは

という意味になります。

　分数の計算や因数分解ができれば、この表に書かれている値が正しいことは計算して確かめることができると思います。例えば m = 17 の検算をしてみましょう。分母の列に書かれた3つの数字をそれぞれ分母にもつ単位分数の和を計算すると以下のようになります。

答えは2/17となり、2倍表の値が正しいことがわかりました。このように検算するだけならそれほど難しくありません。おそらく古代エジプト人は試行錯誤でこの表を仕上げたのでしょう。簡単に計算できるのなら、わざわざ表を作る必要はありませんから。

『自然数×エジプト分数』の計算

　【 2倍表 】を使うと、エジプト分数のかけ算ができます。まず、「自然数×エジプト分数」を考えましょう。例として" 13 "とエジプト分数 " a "のかけ算を考えます。13 を2進数で表すと次のようになります。

この計算のために、次のような表を作ります。

計算は以下のような手順で行います。

( 1 ) 左の欄の1行目に「 1 」を書き、2倍していきます。13を超える直前まで続けます。
( 2 ) 右の欄の1行目に「 a 」を書き、2倍していきます。
( 3 ) 左の欄で合計が13となるものにチェックをつけます。
( 4 ) チェックがついた右の欄（Ans欄）の数を合計します。

この計算方法で、a = 2; 1/3; 1/5 の場合の計算をしてみましょう。

　まず左の欄の1行目に「 1 」を書き、値を2倍していき、13を超える直前まで続けます。

　次に、右の欄の1行目に「 2; 1/3; 1/5 」を書き、値を2倍していきます。セミコロンで区切られたそれぞれの値を2倍します。
2/5のように分母が奇数の分数がでてきたら、2倍表を使って単位分数に分解します。2倍表のm=5の行には「 3　5 」と書かれているので、2/5は1/3; 1/5に分解できます。

　さらに右の欄を2倍していきます。2/15は上と同様に2倍表を参照して1/10; 1/30に分解します。

分母が偶数の分数を2倍する時は、分母を1/2倍します。上の例では1/10を2倍して1/5になっています。最後に、チェックがついたAns欄の和（ a + 4a +8a ）を求めると次のようになります。

　ここでも分母が奇数の分数は2倍表を使って単位分数に分解します。最終的に、単位分数を大きさの順に並べたエジプト分数の形に表すことができました。

　さて、今紹介した問題を現代の方法で計算すると、次のような計算式で表すことができます。皆さんにとってはこちらの方が馴染みがあるので、わかりやすいかもしれません。

　私達はこういった計算方法に慣れているので、深く考えなくても答えを導くことができます。しかしこの方法は九九や筆算を知らないと計算することができません。古代エジプトの方法は、少し手間がかかるようにも見えますが、2倍する、1/2倍する、2倍表を使うという手順だけで分数の計算をすることができます。またエジプト分数で表された答えは「32と3/2と1/5と1/15」というように端数を直感的に捉えることができます。

　今回の問題は「自然数×エジプト分数」でしたが、古代エジプトのパピルスの問題には「エジプト分数×エジプト分数」の問題がたくさんでてきます。古代エジプトの人々はこの問題をどのように処理していたのでしょうか。次回はエジプト分数の問題をもう少し詳しく見ていきたいと思います。

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