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尤度（ゆうど）

コグラフ株式会社 データアナリティクス事業部

こんにちは。コグラフ株式会社データアナリティクス事業部の塩見です。
データサイエンスの勉強をしていると、尤度（ゆうど）という言葉がよく登場します。インターネットで検索するといくつも解説が出てきます。

尤度とは、観測値が与えられたとき、それを説明するモデルや分布などの母数（パラメーター）の値の尤もらしさのことである。

macromill.com

想定するパラメーターがある値をとる場合に観測している事柄や事象が起こりうる確率のこと。

bellcurve.jp

尤度関数（ゆうどかんすう、英: likelihood function）とは統計学において、ある前提条件に従って結果が出現する場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、「何々」を変数とする関数として捉えたものである。また単に尤度ともいう。

Wikipedia

ある結果から、どのような前提条件があったと推測するのが妥当なのかを教えてくれる指標

headboost.jp

これらを読んで尤度とは何か理解できた方はそれで大丈夫です。この記事では、理解できなかった方のためにもっとわかりやすい説明に挑戦します。


ベルヌーイ分布

成功と失敗のような、二種類の値をとる現象を考えてください。ベルヌーイ分布はそのような現象を表現できる確率分布です。
$${\theta : }$$成功率
$${r=1: }$$成功、$${r=0: }$$失敗
として、変数$${r}$$を横軸に、確率$${p(r|\theta)}$$を縦軸にとると以下のような形をしています。$${p(r|\theta)}$$というのは条件付き確率で、「$${\theta}$$という条件が与えられた下での$${r}$$の確率」という意味です。確率分布なので、$${r}$$ごとの確率の合計は1になっています。

ベルヌーイ分布

立体的に考える

ベルヌーイ分布を立体化しました。成功率$${\theta}$$を奥行方向の軸にとっています。$${\theta=0.8}$$で切断した面を示す黄色い線が、上図の$${\theta=0.8}$$と同じ形になっていますね。

ベルヌーイ分布（rが変数）

rを固定する

次に、$${r}$$を固定します。つまりすでに観測された値であり、変数ではないと考えます。目印として$${r=1}$$と$${r=0}$$の切断面を黄色で示しておきます。

ベルヌーイ分布（rを固定）

見方を変える

そして見方を変えましょう。ベルヌーイ分布をぐるっと回転させます。

ベルヌーイ分布を回転

これが尤度です

すると横軸が$${\theta}$$になりました。ここからは$${\theta}$$を変数だと考えましょう。これが尤度です。

ベルヌーイ分布（θが変数）

つまり、ベルヌーイ分布$${p(r|\theta)}$$は
$${r}$$を変数として考えると条件付き分布
$${\theta}$$を変数として考えると尤度
なのです。

ベルヌーイ分布の尤度

ベルヌーイ分布の尤度のグラフから、観測データ$${r}$$の値によって前提条件$${\theta}$$と尤度$${p(r|\theta)}$$の関係が異なることがわかります。したがって、この尤度という指標を使えば観測データから前提条件$${\theta}$$を推測できそうです。

補足説明
尤度は確率ではないということを補足しておきます。上のグラフ（ベルヌーイ分布の尤度）を見てください。グラフの面積が1ではないことがわかると思います。つまり尤度は確率ではありません。確率ではないことを明らかにするため、尤度$${p(r|\theta)}$$は$${L(\theta|r)}$$とか単に$${L(\theta)}$$と表記されます。

最尤推定

最後に最尤推定という手法を説明します。この手法は、観測データから尤度を求めて、尤度が最大になる$${\theta}$$を$${\theta}$$の推測値とします。

例えば、観測値が一つで$${r=0}$$のとき、尤度が最大となる$${\theta}$$は0ですから、$${\theta}$$の推測値は0です。同様に考えて、観測値が一つで$${r=1}$$の場合は$${\theta}$$の推測値は1です。
続いて観測値が二つで、$${r}$$が0、1という値だった場合を考えます。このような場合は$${r=0}$$の尤度$${1-\theta}$$と$${r=1}$$の尤度$${\theta}$$を掛けた$${(1-\theta)\theta}$$を尤度とし、それが最大となる$${\theta=0.5}$$を$${\theta}$$の推測値とするのです。

観測データから尤度を求める

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