各種微分とその応用

2020年12月14日 09:01

こんにちは。今回は各種微分とその応用です。

まず鍵になることは「基本、y=sin⁡x や y=cos⁡x は微分を繰り返すと元に戻る」「（eのx乗）はいくら微分しても変化しない」ということです。また、その他の微分の式も定義をなぞってから覚えましょう。大問1個分の軸になる内容なので、分からないと取り返しのつかないことになります。また、複雑な関数で、対数をとってそれを微分するという技があります。これは結果だけを覚えたら確実に身につかないので過程を理解しましょう。絶対値の自然対数をとる→両辺微分→変形の流れです。これはy=（xのx乗）などというときのみに適用させるべきです。おそらく。

　さて、ここから応用です。明らかに数学Ⅱの内容と被っているところの方法はほぼ同じなのでカットします。グラフを描くことがしばしばあると思うのですが、今回のような様々な関数では整式の時のように1階微分すれば曲線が分かるとは限りません。ここで少し説明を加えると、1階微分は傾き、2階微分は傾きの変化の仕方を意味しています。その変化の仕方でグラフが変わるので考慮する必要も(増減表が要求されることも)あるのです。

　不等式の証明には今まで (片方の辺)-(もう片方の辺) の引き算や数学的帰納法、相加相乗平均の関係などがありました。ここで本格的に微分が使えます。今までの方法で対数や三角関数の込んだ不等式があったとします。ここで本当にこの差が正か負か分からない時があるととても頭が混乱します。こういうときに微分をして増加や減少とどこかの値(特に極限)を見るのです。以上、このような証明もあるという紹介でした。

　さて、このほかにも微分が役立つ事例は山のようにありますが今回はここまで。次回は積分の方法です。微分の方が簡単だったとか聞こえてきそうです。