複素数などのお話

2020年8月17日 20:02

　2次方程式を解いていて、根号の中が負になる時ってありますか？今回はそんなときの話です。

2乗して負になる数なんて本来表せないですよね。というわけで i² が -1 となる i という文字(虚数単位)を導入します。足し引きでは実数と合わせることはできません。a+bi という形になります。不思議でしょ？ですので、i がついているかついていないかで分けて演算する事になります。(余談ですが恒等式の手法を使います)

一方、複素数(実部と虚部に分かれた先ほどに式のような数)はかけ算や累乗の計算が全く慣れないと思われます。ですので、最初はさも文字式を扱っているようにこなしていけばいいでしょう。例えば式中に i² といった項が出てきたらその都度 -1 に直す…といった方法が間違えづらいという面で使えます。ショートカットは重要ですが、確実に基礎ができてからの方がいいです。まあそこは自分のペースで。

　こういった複素数は虚部の符号が入れ替わったものを「共役の関係」ということもあります。これは一応重要で、分母が複素数の式の分母を実数にするときなどに使います。

というようにいろいろあります。更に、数学Ⅲの複素数平面という分野ではさらにいろいろな意味を持ちます。

　さて、ここまで複素数や虚数単位の説明をしてきましたが、2次方程式の話に移ります。グラフ的な意味では2次関数とx軸に交点がなければ解なしという扱いでしたよね。ここからは、2次方程式に実数解がないときの扱いを「異なる2つの虚数解」が存在すると言っていきます。これも解です。間違いのときは存在より計算ミスを疑いましょう。

　また、2次方程式においては ax²+bx+c=0 なる式があったとして、その解の和は -b/a、積は c/a となる事が知られています。実際に解を代入して式をいじっていけば分かります。これがおそらく重要です。分かっていると解の条件づけで係数を特定するという数学Ⅰでもあったことが大いに簡単になります。また、解から2次方程式の特定も可能です。

もう一つ話したい事がありますが、長くなるので本日はここまで。ありがとうございました。