さるぶつ道場 単振動2
浮きの単振動
密度 $${\rho}$$ の液体中に，密度 $${\frac{3}{4}\rho}$$ ，底面積 $${S}$$ ，高さ $${H}$$ の均質な円柱をゆっくりと入れたところ，円柱は図1aのように浮かんで静止した．水面の位置を原点として，鉛直上向きに $${x}$$ 軸をとり，重力加速度の大きさを $${g}$$ とする．また，円柱は上面を水平に保ったまま鉛直方向にのみ運動し，空気や液体の抵抗は無視できるものとする．
(1) 図1aのように円柱が浮かんで静止したときの，水面から円柱の上面までの高さ $${D}$$ を求めよ．
円柱を鉛直下方にわずかに押し込んで，静かに手を離したところ，円柱は単振動を始めた．図1aのように，円柱が浮かんで静止しているときの，円柱と液面が接する側面上の点をＰとする．
(2) 図1bのように，点Ｐが位置 $${x}$$ にあるときの，円柱に鉛直方向にはたらく力の和を求めよ．
(3) 円柱の単振動の周期を求めよ．
円柱を静止させた後，図1cのように，点Ｐの位置が $${x=-\frac{1}{2}H}$$ になるように沈めて，静かに手を離したところ，円柱は鉛直上方に上昇を始めたが，円柱の全てが水面から出ることはなかった．
(4) 円柱の点Ｐが達する最高点の $${x}$$ 座標を求めよ．
解答はこちらです．
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