さるぶつ道場 光6解答

光ファイバー

　問題はこちらです．

　(1)三角形の内角の和に注目しましょう．．また，三角比の公式 $${\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta}$$ を用いてください．(2)媒質Ⅰに対する媒質Ⅱの屈折率を正しく表現しましょう．(3)(1)，(2)の結果を利用して，丁寧に計算してください．(4)(3)の計算過程を参考に，不等号の向きに気をつけましょう．　(5)光路長を思い出してください．

(1)

　三角形の内角の和を考えると，$${\gamma=\frac{\pi}{2}-\beta}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
\sin\gamma&=&\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\\
&=&\cos \beta
\end{array}
$$

(2)

　臨界角 $${\gamma_0}$$ に達したとき，屈折角は $${\frac{\pi}{2}}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
\frac{n_2}{n_1}&=&\frac{\sin \gamma_0}{\sin \frac{\pi}{2}}\\
\sin\gamma_0&=&\frac{n_2}{n_1}
\end{array}
$$

(3)

　入射角 $${\alpha}$$ と屈折角 $${\beta}$$ の関係より，

$$
\begin{array}{}
\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}&=&n_1\\
\sin\beta&=&\frac{1}{n_1}\sin\alpha
\end{array}
$$

　臨界角に達したときの $${\alpha,\ \beta}$$ をそれぞれ $${\alpha_0,\ \beta_0}$$ とする． (1)の結果 $${\sin\gamma=\cos\beta}$$ を利用して，

$$
\begin{array}{}
\sin\gamma_0&=&\frac{n_2}{n_1}\\
\cos\beta_0&=&\frac{n_2}{n_1}\\
\sqrt{1-\sin^2\beta_0}&=&\frac{n_2}{n_1}\\
\sqrt{1-\left(\frac{1}{n_1}\sin\alpha_0\right)^2}&=&\frac{n_2}{n_1}\\
1-\left(\frac{1}{n_1}\sin\alpha_0\right)^2&=&\frac{n_2^2}{n_1^2}\\
\left(\frac{1}{n_1}\sin\alpha_0\right)^2&=&1-\frac{n_2^2}{n_1^2}\\
\sin^2\alpha_0&=&n_1^2-n_2^2\\
\sin\alpha_0&=&\sqrt{n_1^2-n_2^2}
\end{array}
$$

(4)

　$${\sin\gamma_0 > \frac{n_2}{n_1}}$$ のとき，媒質Ⅰと媒質Ⅱの境界面で全反射が生じるので，

$$
\begin{array}{}
\sin\gamma_0&>& \frac{n_2}{n_1}\\
1-(n_1\sin\alpha_0)^2&>& \frac{n_2^2}{n_1^2}\\
(n_1\sin\alpha_0)^2&<& 1-\frac{n_2^2}{n_1^2}\\
\sin\alpha_0&<& \sqrt{n_1^2-n_2^2}
\end{array}
$$　

　$${0\leq \sin\alpha_0 \leq 1}$$ なので，光が全反射をくり返しながら，光ファイバー内を進んでいくための条件は，$${1< \sqrt{n_1^2-n_2^2}}$$ ．

(5)

　全長が $${L}$$ の光ファイバーの光路長は $${n_1L}$$ である．光速の光ファイバーの軸に沿った成分は $${c\cos\beta}$$ である．(3)の条件を満たすとき，

$$
\begin{array}{}
c\cos\beta_0&=&c\sqrt{1-\sin^2\beta_0}\\
&=&c\sqrt{1-\left(\frac{1}{n_1}\sin\alpha_0\right)^2}
\end{array}
$$

　光が通過する時間 $${T}$$ は，

$$
\begin{array}{}
T&=&\frac{n_1L}{c\cos\beta }\\
&=&\frac{n_1L}{c\sqrt{1-\left(\frac{1}{n_1}\sin\alpha\right)^2}}\\
&=&\frac{n_1^2L}{c\sqrt{n_1^2-\sin^2\alpha^2}}
\end{array}
$$