さるぶつ道場 単振動3

半円形レールのついた台と小球の単振動

　図のように，半径 $${R}$$ の半円形のレールが取り付けられた質量 $${M}$$ の台が，なめらかな水平面上に固定されている．半円形のレールの中心を通る鉛直線と水平面との交点を原点とし，右向きに $${x}$$ 軸をとる．全ての抵抗は無視できるものとし，重力加速度の大きさを $${g}$$ とする．必要ならば，$${\theta}$$ が０に近いときに成り立つ近似式 $${\sin \theta \approx \theta}$$ ，$${\cos \theta \approx 1}$$ を用いてよい．
　はじめ，座標 $${d}$$（ $${d\ll R}$$ ）の鉛直上方に質量 $${m}$$ の小球を静かにおいたところ，小球は原点を中心に単振動を始めた．
(1) 小球の単振動の周期 $${T_1}$$ を求めよ．
(2) 小球が原点上を通過するときの，小球の台に対する速さ $${v_1}$$ を求めよ．
　台の固定を外して，台が水平面上で自由に運動できるようにして，座標  $${d}$$（ $${d\ll R}$$ ）の鉛直上方に質量 $${m}$$ の小球を静かにおいたところ，小球が動きだすと同時に台も動きだし，小球も台も単振動を始めた．
(3) 小球の単振動の周期 $${T_2}$$ を求めよ．
(4) 小球の振動の中心の座標 $${x_0}$$ を求めよ．
(5) 小球が $${x_0}$$ を通過するときの，小球の台に対する速さ $${v_2}$$ を求めよ．

図

　解答はこちらです．