さるぶつ道場 単振動4解答

ばねに付けた小球との非弾性衝突

　問題はこちらです．

　ばね振り子の周期は，単振動をする物体の質量 $${m}$$ とばね定数 $${k}$$ で決まるので，AとBが衝突する位置は振幅の $${\frac{\sqrt 3}{2}}$$ の位置です．このことに気付かないと(3)以降は解けません．図のような，振幅を半径とする円を描いて考えましょう．

図

(1)

　角速度を $${\omega}$$ とすると，Aの運動方程式は，

$$
\begin{array}{}
-m\omega^2x&=&-kx\\
\omega&=&\sqrt{\frac{k}{m}}
\end{array}
$$

　周期 $${T_0}$$ は，

$${T_0=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$$

(2)

　運動量保存則より，

$$
\begin{array}{}
mv_0&=&mv_A+mv_B\\
v_0&=&v_A+v_B\ \cdots ①
\end{array}
$$

　はね返り係数の定義より，

$$
\begin{array}{}
e&=&-\frac{v_B-v_A}{v_0}\\
ev_0&=&v_A-v_B\ \cdots ②
\end{array}
$$

　①＋②より，

$$
\begin{array}{}
(1+e)v_0&=&2v_A\\
v_A&=&\frac{1+e}{2}v_0
\end{array}
$$

　①に代入して，

$${v_B=\frac{1-e}{2}v_0}$$

(3)

　力学的エネルギー保存則より，Aの振幅 $${A}$$ は，

$$
\begin{array}{}
\frac{1}{2}mv_A^2&=&\frac{1}{2}kA^2\\
A&=&v_A\sqrt{\frac{m}{k}}
\end{array}
$$

　周期は単振動するときと変わらないので，図３より，Aは時間 $${\frac{1}{6}T_0}$$ の間に $${\frac{\sqrt 3}{2}A}$$ 進む．
　すなわち，

$${x_1=\frac{v_A}{2}\sqrt{\frac{3m}{k}}}$$

(4)

　AとBが再び衝突するまで，Bは等速直線運動するので，

$$
\begin{array}{}
v_B&=&\frac{x_1}{\frac{1}{6}T_0}\\
v_B&=&\frac{\frac{v_A}{2}\sqrt{\frac{3m}{k}}\cdot 6}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}\\
\frac{1-e}{2}&=&\frac{1+e}{2}\cdot \frac{3\sqrt 3}{2\pi}\\
2\pi(1-e)&=&3\sqrt 3(1+e)\\
(2\pi+3\sqrt 3)e&=&(2\pi-3\sqrt 3)\\
e&=&\frac{2\pi-3\sqrt 3}{2\pi+3\sqrt 3}
\end{array}
$$