"General theory of relativity"(Dirac)を読む4＆5

過去の記事はこちら。

少し日が空いてしまいましたが、第４回目の記事です。今回はchapter 4 & 5を取り扱います。

Chapter 4は"Nontensors"です。ここの話は比較的簡単で、$${N^{\mu}_{\nu\rho}}$$の様な一見、テンソルに見える量でも、式（3.6）で見たような$${T^{\alpha^{\prime} \beta^{\prime}}_{\gamma^{\prime}}=x^{\alpha^{\prime}}_{,\lambda}x^{\beta^{\prime}}_{,\mu}x^{\nu}_{,\gamma^{\prime}}T^{\lambda\mu}_{\nu}}$$の変換に従わなければテンソルではない。テンソルは(3.6)の変換に従う量でなければならない。

また、テンソル量はある座標系で消えるなら、他の任意の座標系で消えなければならないが、非テンソル量はその限りではない。

しかし、非テンソル量でも、添字の上げ下げに関するルールは成り立つので、例えば、非テンソル量$${N^{\mu\alpha}_{\rho}}$$に対して、$${g^{\alpha\nu} N^{\mu}_{\nu\rho}=N^{\mu\alpha}_{\rho}}$$が成り立つ。

この添字の上げ下げのルールは異なる座標系への変換法則とは独立である。

The quotient theorem

次にThe quotient theoremについて紹介する。日本語だと、「商の法則」と呼ばれるようだ。この定理は以下の内容だ。

例えば、$${P_{\lambda\mu\nu}}$$と任意のテンソル$${A^{\lambda}}$$の積$${A^{\lambda}P_{\lambda\mu\nu}}$$を考える。もし、この量がテンソル量なら、$${P_{\lambda \mu\nu}}$$もテンソルである。

（証明）

$${A^\lambda P_{\lambda \mu \nu}=Q_{\mu\nu}}$$と書く。仮定より、これはテンソル量なので、以下の変換則に従わなければならない。

$$
Q_{\beta \gamma}=Q_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}} x^{\mu^{\prime}}_{,\beta}x^{\nu^{\prime}}_{\,\gamma^{\prime}} .
$$

すなわち、

$$
A^{\alpha}P_{\alpha\beta\gamma}=A^{\lambda^{
\prime}}P_{\lambda^{\prime}\mu^{\prime}\gamma^{\prime}} x^{\mu^{\prime}}_{,\beta}x^{\nu^{\prime}}_{\,\gamma^{\prime}}
$$

ベクトルの変換則（式（3.6））を考えると、$${A^{\lambda ^{\prime}}=A^{\alpha}x^{\lambda^{\prime}}_{,\alpha^{\prime}}}$$である。したがって、

$$
A^\alpha P_{\alpha \beta \gamma}=A^\alpha x_{, \alpha}^{\lambda^{\prime}} P_{\lambda^{\prime} \mu^{\prime} \nu^{\prime}} x_{, \beta}^{\mu^{\prime}} x_{. \gamma}^{\nu^{\prime}}
$$

これが任意のベクトル$${A^{\lambda^{\prime}}}$$に対して成り立つので

$$
P_{\alpha \beta \gamma}=P_{\lambda^{\prime} \mu^{\prime} v^{\prime}} x_{, \alpha}^{\lambda^{\prime}} x_{, \beta}^{\mu^{\prime}} x_{, \gamma}^{v^{\prime}}
$$

が成り立つ必要がある。これはすなわち、テンソルの変換則に他ならないので、$${P_{\alpha\beta\gamma}}$$はテンソル量である。（証明終了）

次に、Chapter 5です。Chapter 5は"Curved space"ということで「曲がった時空」です。

2次元の曲がった空間は三次元ユークリッド空間に埋め込まれているのは容易に想像できる。同様に、4次元の曲がった時空はより高次元の平坦な空間に埋め込まれているのだろう。この様な曲がった空間のことをリーマン空間と呼び、リーマン空間の小さな領域は近似的に平坦とみなせる。

アインシュタインは物理的空間はこの性質を持つと仮定し、彼の重力理論の基礎に据えた。

曲がった空間を取り扱うには、直交座標を用いるわけにはいかず、Chapter 3で取り扱った曲線座標系を用いなければならない。Chapter 3で取り扱ったフォーマリズムは任意の曲線座標系で使える。というのも、全ての方程式は曲率によって妨げられない局所的なものだからである。

Chapter 2で見た通り、4次元時空において、$${ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}$$は不変量であった。$${ds}$$はtimelike intervalでは実数で、spacelike intervalでは虚数になる。

曲線座標系では、計量$${g_{\mu\nu}}$$は曲線座標系の関数として与えられ、4次元時空での距離を規定する。すなわち、計量は空間の曲率を与え、座標系を規定するのである。

言い直すと、「曲線座標系で計量$${g_{\mu\nu}}$$が与えられると、その空間での微小距離$${ds^2}$$や曲率を決定する事ができる。」

（余談）
ディラックのテキストではchapter 3で、"We shall deal with quantities which are located at a point in space"、chapter 5で"all the equations are local ones which are not disturbed by the curvature"と書かれているのですが、これを保証するのが「等価原理」なんですよね。一般的な一般相対性理論ではこの辺りの話は必ず出てくるのですが、ディラックのテキストは等価原理が出てこない。これにはさすがに等価原理を「生涯最高のひらめき」と言ったアインシュタインも涙目では？？

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