作曲って奥深い…万華鏡のような音階の話

こんにちはー、あかねです。

今回は、まず下方倍音列ってなんぞやというのを紹介をして、そこから実際に万華鏡のような音階を作ってみようと思います。

作曲の過程で書き散らしたアイデアが膨大な量になってきたんで、きちんとnoteにまとめて発表しようって企画です。

主に作曲に興味があるひと向けだと思って下さい。

さて。ここに基準となる高さの音があったとします。

この音の振動数を１とするとき、繊細な聴覚は、この音の中に振動数が２、３、４、５…n…となる音を聞き取ります。

これらの音を低い方から順に五線紙に記すと、およそ以下のような音程関係になります。かくして得られる音列は自然倍音列と呼ばれます。

一方私たちは、この逆比をとって、基音に対して振動数が１/２、１/３、１/４、１/５…１/n…となる音の列を求めることもできます。こちらは下方倍音列と呼ばれます。

これら2つの組織は、一方がもう一方の逆関数になっています。
音Aが音Bの自然倍音列上にあることと、音Bが音Aの下方倍音列上にあることは同値です。

基音の上方に構成される自然倍音列と、下方に構成される下方倍音列は、一対一の写像となり、両者は基音の上下に線対称な帯域を作ります。

ところで私たちは、自然倍音列上に純正な長三和音を見出だす事ができます。この振動比率は4:5:6で、明朗快活な協和音程です。

この写像となる下方倍音列上の和音は、純正な短三和音となります。この振動比率は1/4:1/5:1/6で、若々しい生気に満ちた響きがします。

同様にして私たちは、自然倍音列上のあらゆる和音に対して、その鏡像となる和音を得る事ができます。

例えば私たちは自然倍音列上に、第五音が上方に変位した属七の和音を見出だせます。 長六度の倚音が生む、輝かしい効果が印象的な和音です。

この鏡像は、第十一音が付加された長三和音となります。喜びと恍惚をもたらす、リディア旋法上の和音です。

自然倍音列から更に定義域を拡大して考えると、わたし達は一般に、ある基音に対して何かしらの音列が与えられた時、その鏡像となる音列を得ることができると言えます。

基音の振動数を1とした時、振動比がα:β:γ:∂…となる音列の鏡像は、その逆数の振動比、つまり1/α:1/β:1/γ:1/∂…で定義されます。

例えば、リディア旋法の鏡像となる音列はロクリア旋法となります。

メモ
この時、Fis音の鏡像はGes音、即ち自身Fis音の異名同音である事に着目して下さい。
これは、基音のC音とFis音（Ges音）の振動比が白銀比である事に由来する現象です。
白銀比、即ち増四度の音程関係はある作曲家にとっては特別な意味を持ちます。
増四度、旋法というテーマについては、別のnoteで詳しく書けたらと思いますー。

基音上のある音列と、その鏡像となる音列の和集合をとると、基音に関して線対称な音列を得ることができます。

例えば、ある長三和音とその鏡像の和集合は無限に存在しますが、いずれも基音に関して線対称です。
その内要素の個数が４であるような音列は三種類のみ存在します。
これらを、音域が狭いものから順に{X1、Y1、Z1}と名付けます。

{X1、Y1、Z1}は基音に関して線対称なので、当然その鏡像は自身と等しいのですが、基音を異なる位置に設定すると、自身とはまた異なった鏡像を得ることもできます。

そうして得られる音列と{X1、Y1、Z1}の和集合をとると、{X1、Y1、Z1}よりも更に大きな音列が得られます。その内、要素の数が7であるような音列を{X2、Y2、Z2}と名付けます。

同様の操作を繰り返すと、帰納的に
…{X3、Y3、Z3}{X4、Y4、Z4}{X5、Y5、Z5}…
…{Xn、Yn、Zn}……が得られます。

この極限として{X∞、Y∞、Z∞}が定義でき、長三和音の無限鏡像が得られます。

これは上下に無限の音域を持つ音列で、一定の帯域ごとに周期的に等しい構造が現れます。

例えばX∞は、完全五度の音域を持つX1を縦に積み重ねた構造になっています。
ですから、この音列上には完全五度と完全八度の最小公倍数である7オクターブの周期ごとに同じ音名の音が現れます。

長三和音の無限鏡像の内部には、帯域ごとに様々な調的な色彩が分離して、虹となって現れています。

まるで万華鏡を覗いたような音の世界の話でした。

あかね