ベッチ数と輪廻転生

　（この算数・数学の記事には、小学１年生なら理解できることを書きます。しかし、ほんとうは大学の数学科の幾何の学生が学部３年くらいで習うことです。でも、よろしければお読みくださいね。）

　以下のクイズは前にも出しましたが、再掲しますね。なんの数を表しているでしょう。

　３０００＝３
　８８８８＝８
　５６７８＝３
　１２１２＝０
　　１００＝２
　　　　１＝０
　　　　０＝１

　これ、小学１年生ならわかるのですよ。わかりますか？

　答えを書いていいですか？

　答えを書きますよ？

　窓の数です！

　穴の数です！

　つまり、「０」には窓がひとつあります。「８」や「B」や「日」には窓が２つあります。「１」や「２」にはひとつも窓がありません。そういうことです。これを「1-ベッチ数」と言います。k-ホモロジーのランクをk-ベッチ数と言います。このホモロジーというのが、数学科の幾何の学部生の３年くらいで習うことですので、きちんとした議論をしなければ厳密な話はできないわけです。ですから、以下に直感に頼った議論が続くことはおゆるしいただきたいと思います。しかし、難しいことを言わなければ、少なくとも1-ベッチ数は見た目で明らかではないかと思います。

　では、0-ベッチ数はと言いますと、これは「つながっている部分の数」です。たとえば「３０００」の0-ベッチ数は４で、「１００」の0-ベッチ数は３で、「５」の0-ベッチ数は１です。それだけです。私の説明がへたでうまく伝わりませんでしたら、スルーして先へお進みください。

　では、2-ベッチ数とはなにかと言いますと、「お部屋の数」です。たとえば、球面の2-ベッチ数は１です。（球面には窓がありませんので、球面の1-ベッチ数は０ですね。）心臓の2-ベッチ数は２でしょうか。心臓には２つの部屋がありますので。もしかして心臓の2-ベッチ数は４ですか？心臓の詳しいことはわかりませんが…。

　それで、3-ベッチ数はなにかを考えますと、これは想像を絶すると思います。いまわれわれは３次元空間に住んでいますので。この空間が４次元の空間でどれだけの「４次元お部屋」があるのかはわかりません。いや、正確なことを言うと、つぎの通りです。べつに、このわれわれの住む３次元空間が、４次元空間に「埋め込まれて」いなくてもいいのです。それとベッチ数は関係ありません。たとえば、1-ベッチ数にしても、ほんとうは「窓の数」ではないのです。われわれが１次元の空間に住む「点」だったとしましょう。その世界が、果たして「窓がいくつあるか」がその「点」であるわれわれにわかるでしょうか？つまり、ベッチ数（ホモロジー）は、その空間そのもので決まるのでありまして、どの次元の空間に「埋め込まれて」いるか（「埋め込む」もほんとうは専門用語なのです。ごめんなさい）というのは関係ないのです。さきほどの「３０００＝３」みたいなのがすぐにわかるのは、１次元の空間である「０」をこのように２次元の紙に書き、さらにそれを３次元に住むわれわれが読んでいるからです。だからものすごく当たり前に感じられるのです。その空間に住んでいる人にはなかなかわかりません。したがってほんとうは厳密な議論がいるのです。ごめんなさいね、小学１年生でもわかることでありながら、じつはホモロジーやコホモロジーが非常に専門的な概念であるのは、そのような事情によります。

　少しだけ「なかにいるとわからない」ことを、1-ベッチ数で実感していただきますね。私たちの世界で、「時間（時刻）」というものは、１つの実数で表されます。たとえば西暦2001年１月１日の深夜０時を０秒としますと、その時点から何秒経過したかで、本日2022年2月21日の15時28分は定められます。それよりも前の時間（時刻）であれば、マイナスの数で表されます。あまり難しいことを言わなければ、それで時間は定められます。これは１次元です。これに伴って「講演」のようなものも内容は１次元になります。この文章も、１次元にせざるを得ません。「点と点を結んで線になる」とか「線と線のあいだで面になる」といったたとえがよく使われますが、それでも、講演の原稿にするとき、あるいはこのいま私が書いている記事にしましても、１次元にせざるを得ないわけです。時間が１次元だからです。以下は余談です。「面と面のあいだで体になる」という言いかたをほとんどしないのは、われわれの脳が、あまり３次元的にはできていない証拠だと思います。われわれはあまり３次元的な発想をしていないことは、日常的にいろいろ例を挙げることができます。引っ越しのとき、棚にある食器を並べてみたら、予想以上にたくさん入っていた！という経験は多くの人がなさるのではないでしょうか。余談の余談です。「体」と言っても「実数体」の「体」ではないですよ！当たり前ですけど。余談の余談おわり。余談おわり。

　というわけで、時間は１次元ですが、１次元の多様体は直線と円だけです（ミルナーの有名な本にその証明が載っていたと思います）。自分の人生が、何回も生まれ変わる、つまり輪廻転生するのか（仏教的）、それとも、１回こっきりで、生まれて生きて死んで復活して永遠の命なのか（キリスト教的）、どちらだか、結局、人間にはわからないではないですか。輪廻転生ならわれわれの人生は「円」であって、1-ベッチ数は１です。いっぽうで１回こっきりの人生なら、われわれの人生は「直線」であって、1-ベッチ数は０です。これがどちらだかわからない。さきほど、1-ベッチ数なら小学１年生でもわかると言いました。でも、時間という１次元の世界の中に住むわれわれには、それが円であるのか直線であるのかもわからないのです！「住んでいるとわからない」というのは、そういうことです。

　これでだいたいこの記事はおしまいなのですが、かなり理解し難くなってしまったかもしれません。それというのも、私の説明が悪いのでして、きちんとホモロジーを定義していないのに、こんな感覚に頼った説明をしているから、通じない話になったのです。ごめんなさいね。通じる人にしか通じない記事かもしれませんが、せっかく書いたし、公開しますね。ごめんなさいね。ここまでお読みくださり、ありがとうございました。