超動くマンカラ（３）～ひとりマンカラ・カラハの数列
前回の超動くマンカラは番外編でした。
今回は、１人でマンカラします。
カラハの追加アクション
日本で遊ばれるマンカラの中で、１番遊ばれるのはカラハ（Kalah）です。
カラハのルールの中には、通常のアクション（石を動かす）の他にさらに追加のアクションがあります。
それぞれのプレイヤーは、得点となる石を通常の穴ではなく、盤面右端の大穴に入れます。
プレイヤーのアクションは、反時計回りに石を１個ずつ穴に入れて、自分の得点の大穴に入れて、１周していきます。
追加アクションは、最後の石を入れたのが、自分の大穴だったときに、また新たに石を動かすアクションができます。
例えば、上の写真の状態で石２個ある穴で、アクションをすると、
石１個ある穴に石が１つ、大穴に石が１つ入って終了します。
大穴で終わったので、もう１度アクションできます。
石２個ある穴でアクションをして、上のようになってアクションが終了します。
しかし、本当は全部の石を大穴に入れることができます。
最初の状態に戻ります。
石１個ある穴でアクションします。
石１個が大穴に入るので、もう１度アクションできます。
石２個ある穴でアクションをすると、また大穴でアクションが終了するので、追加アクションができます。
はい。全部の石を大穴に入れることができました。
追加アクションしっぱなし
カラハでは、自分の盤面には６個の穴があります。
では、追加アクションを繰り返すことで、１手で何個の石を大穴に入れることができるのでしょうか？
答えは下。
１７個の石をすべて大穴にいれることができます。
手順は、
です。
ズラリ並べてみると、何をしているのかよく分からなくなります。
実は、ちょっとしたお約束で、どの穴からはじめているかが決まります。
それは、
（１）大穴の手前の穴から考える。
（２）その穴は、大穴から数えて何番目にあるか。
（３）その穴には、何個石があるのか。
（４）（２）と（３）の数が同じなら、その穴でアクションを行う。
少し補足すると、（４）は大穴でアクションを終わるための条件です。
そして（１）は、大穴の手前から奥へと判断していくことで、穴に石が多くなりすぎないようにしています。
無限に追加アクション
穴が６個の場合だと最大石１７個を１手ですべて大穴に入れることができるのですが、もっと穴が多かったら、もっと多くの石を一度に入れることができます。
ではどうやって考えたらいいのか？
石を逆に動かしていけばいいのです。
逆に増やしていくときに、
（１）大穴の手前からみて、１番手前の石が入っていない穴に石を入れていく。
（２）石の入れ方は、（１）できめた穴の途中にある穴から１個ずつ石を取り、さらに大穴の文から石を１個取り、すべて入れる。
この２点をおさえれば、次々と１手で石を取る配置をつくることができます。
石４個の配置は、石３個と比べてみると、
となります。
数字を入れてみると、よく分かりますね……最初から入れろ、という話はありますが。
数字にしてみる
では、あえて、数字だけで書いてみます。
穴６個の状態をあらわすと「００００００」になります。
石１個の場合だと「０００００１」とすれば、イメージしやすいですね。
以下が、石１個から最大の１７個までです。
１：０００００１
２：００００２０
３：００００２１
４：０００３１０
５：０００３１１
６：００４２００
７：００４２０１
８：００４２２０
９：００４２２１
１０：０５３１１０
１１：０５３１１１
１２：６４２０００
１３：６４２００１
１４：６４２０２０
１５：６４２０２１
１６：６４２３１０
１７：６４２３１１
お気づきの方もいるでしょうが、石１２個の場合「６４２０００」は、大穴の手前３つの穴に石がない状態です。
なので、石１３個から１７個までの手前３つの穴に限ってみると、石１個から石５個の手順がでてきます。
では、石１８個だとどうなるのか。
穴をもう１つ増やします。
１８：７５３１２００
ＯＥＩＳを見よ
ところで、これらの数字を並べてみる、要は数列としてみると、どうなるか。
石０個の場合からはじめてみます。
また、数字は、大穴から一番奥の穴に石があるところまで表記します。
0, 1, 20, 21, 310, 311, 4200, 4201, 4220, 4221, 53110, 53111, 642000, 642001, 642020, 642021, 642310, 642311, 7531200,……
となります。
で、世に中にはとんでもないところがございます。
古今東西の整数の数列を集めた
オンライン整数列大辞典 OEIS
（ The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences）
です。
集められた数列には、通し番号が割り当てられておりまして、今回の数列も「A028931 Strings giving winning positions in Tchoukaillon (or Mancala) solitaire.（意訳：チョウカリオンもしくはマンカラの１人遊びにおける勝利配列の並び）」
として登録されています。
さらにその次の「A028932」の数列を見ると、
0, 1, 2, 0, 2, 1, 3, 1, 0, 3, 1, 1, 4, 2, 0, 0, 4, 2, 0, 1, 4, 2, 2, 0, 4, 2, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 0, 5, 3, 1, 1, 1, 6, 4, 2, 0, 0, 0, 6, 4, 2, 0, 0, 1, 6, 4, 2, 0, 2, 0, 6, 4, 2, 0, 2, 1, 6, 4, 2, 3, 1, 0, 6, 4, 2, 3, 1, 1, 7, 5, 3, 1, 2, 0, 0, 7,……
とあります。
１列にするとわからないのですが、以下のように並べると、
0,
1,
2, 0,
2, 1,
3, 1, 0,
3, 1, 1,
4, 2, 0, 0,
4, 2, 0, 1,
4, 2, 2, 0,
4, 2, 2, 1,
5, 3, 1, 1, 0,
5, 3, 1, 1, 1,
6, 4, 2, 0, 0, 0,
6, 4, 2, 0, 0, 1,
6, 4, 2, 0, 2, 0,
6, 4, 2, 0, 2, 1,
6, 4, 2, 3, 1, 0,
6, 4, 2, 3, 1, 1,
7, 5, 3, 1, 2, 0, 0,
7,……
実は「A028931」の数字を、穴１個ずつ切り出したものだとわかります。
どこで区切るのか分からなくなりますが、数字が突如大きくなるのが、切り替えのポイントになります。
「A028931」の場合、穴に石１０個以上となると分かりづらいかも知れませんので、一長一短です。
さらにその次の「A028933」の数列は、「A028932」を逆に並べています。
石１７個だと、「A028932」は 6, 4, 2, 3, 1, 1, ですが、「A028933」は 1, 1, 3, 2, 4, 6, としています。
表計算など場合は、逆向きのほうが扱いやすいでしょう。
0, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 1, 3, 5, 1, 1, 1, 3, 5, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 1, 0, 0, 2, 4, 6, 0, 2, 0, 2, 4, 6, 1, 2, 0, 2, 4, 6, 0, 1, 3, 2, 4, 6, 1, 1, 3, 2, 4, 6, 0, 0, 2, 1, 3, 5, 7, 1,……
今まであげた数列の角度を変えてみたのが「A002491」です。
1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 22, 30, 34, 42, 48, 58, 60, 78, 82, 102, 108, 118, 132, 150, 154, 174, 192, 210, 214, 240, 258, 274, 282, 322, 330, 360, 372, 402, 418, 442, 454, 498, 510, 540, 570, 612, 622, 648, 672, 718, 732, 780, 802, 840, 870,……
「Smallest number of stones in Tchoukaillon (or Mancala, or Kalahari) solitaire that make use of n-th hole.（意訳：チョウカリオンもしくはマンカラ・カラハの１人遊びにおける、これだけの穴の用意が必要となる最小限の石の数）」
最初の７項目 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, を取り出します。
これがなにを意味するかと言うと、
１：１
２：２０
４：３１０
６：４２００
１０：５３１１０
１２：６４２０００
１８：７５３１２００
ということで、新たに穴を追加する必要がでてくる石の数をあらわしています。
もし、穴１８個で１手で全部取る配列を考えようとすると、１９番目が「118」なので、最大石１１７個の勝ちパターンまでカバーできます。
117:18 16 14 12 10 8 6 4 2 9 5 1 3 2 2 2 2 1
締め
ＯＥＩＳには、マンカラから発想された数列が他にも多くありますので、どんな数列か確認して紹介したいと思います。
次回は、どうしようか。
では。
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