大半の人が知らないかもしれない『モンティ・ホール応用問題』について、書いてみる。
『モンティ・ホール問題』とは？
Youtubeでもいくつか解説動画があがっています。
この問題はどんなものかというと、
【Wikipediaからの引用】
プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。
プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
追記：司会者は、新車のあるドアがどれかを、事前に知っています。
例えば、回答者は１番のドアを選ぶ。
司会者は（すでに答えは知っているので）、ハズレの３番のドアを開く。
回答者は、１番のドアのままでいいのか、２番に変更するのか、それともどちらを選んでも確率は同じなのか、ということです。
この問題は色々いわくつきで、
・IQ２２８の超天才マリリン・ボス・サバント（Marilyn vos Savant）さんが、新聞のコラムで「変更したほうが確率が高い」と答えた。
・それは間違いだと、大炎上する（ほとんどの人の意見は「確率は変わらない」）。
・何人かの数学者も、マリリンさんの回答は間違いだ、と指摘する。
・結局、マリリンさんの回答は正しかった。
なぜ、変更したほうが確率が高いか、その理由を知りたい方は、調べてみて下さい。
１つサイトをあげておきます。
１００枚のドア
さて、「どうして変更したほうが確率が高いのか」の説明・解説をしている書籍や文書などはたくさんあります。
そのなかで、よくあがるのが「１００枚のドアで考える」です。
・100個のドアのどれか一つにアタリがある、他すべて（99個）はハズレ。
・挑戦者は100個から１つだけドアを選ぶ。
・ホール氏は残りの99個のドアから98個のハズレのドアを開けてみせる。
・挑戦者はドアを変えるか、そのままかを選択する。
例えば、回答者は１番のドアを選ぶ。
司会者は（すでに答えは知っているので）、ハズレの９８枚のドアを開く。
回答者は、１番のドアのままでいいのか、２番に変更するのか、それともどちらを選んでも確率は同じなのか、ということです……って、どっかで書いたな。
この説明で、「変更したほうがいいよね」と納得する人が多いようです。
で、この説明からの「応用問題」が考えられるのですが、実は説明しているサイトや動画が全くと言っていいほどありませんでした。
類似の問題が、Yahoo！知恵袋に１件見かけました。
それは、このような問題です。
・100個のドアのどれか一つにアタリがある、他すべて（99個）はハズレ。
・挑戦者は100個から１つだけドアを選ぶ。
・ホール氏は残りの99個のドアから１個のハズレのドアを開けてみせる。
・挑戦者はドアを変えるか、そのままかを選択する。
回答者が最初に選んだドアを赤くしました。
司会者は、残り９９枚の扉のうちハズレのドアを開けました。
回答者は、（１）最初に選んだドアにするか、それとも、（２）残った９８枚のドアから１枚を新たに選び直すのか、どちらのほうが確率が高い？
ということです。
考えてみて下さい。
答えは下に書きます。
答え
まず（１）の状況を書いてみます。
当たり前のことを書きますが、１００枚のドアのうち１つに必ず当たりがあります。
そして、１００枚のドアから１枚を選ぶ１００択問題ということ。
なので、当たる確率は１／１００です。
（２）の状況。
９９枚のドアのどれにも当たりがないことがあります。
最初に回答者が選んだドアに当たりがあるときです。
なので、最初のドアから変更して選んだとき、絶対に外れる確率は１／１００です。
言いかえると、９９枚のドアのうち１つに必ず当たりがある確率は、９９／１００です。
そして９９枚のドアから、必ずハズレのドアを１枚除外します。
ということは、９８枚のドアから１枚を選ぶ９８択問題です。
この選択の当たる確率は１／９８です。
したがって、（２）の状況の確率は掛け合わせると、９９／１００×９８です。
では、（１）（２）それぞれ比べてみます。
比較やすいように（１）の確率を通分（９８／９８をかける）すると、
（１）は９８／１００×９８
（２）は９９／１００×９８
（２）のほうが１／９８００だけ、確率が高くなります。
なので、「残り９８枚のドアを選び直したほうが（ほんのちょっとだけど）当たる確率が高くなる」のです。
無限枚のドア
いやはや。
『モンティ・ホール問題』の真の恐るべきところを垣間見ました。
ドアが何枚あろうが、最初に扉を決めた後、回答を知っている司会者が残ったハズレのドアを１枚以上開けて公開して「残りのドアから選び直していいよ」と言われたら、
はいはーい、よろこんで選び直しまーす！
としなさい、なのです。
今回の応用問題をその他の枚数の場合にもあてはまるように書き直すと、
・ｎ個のドアのどれか一つにアタリがある、他すべて（ｎー１）個はハズレ。
・挑戦者はｎ個から１つだけドアを選ぶ。
・ホール氏は残りの（ｎー１）個のドアから１個のハズレのドアを開けてみせる。
・挑戦者はドアを変えるか、そのままかを選択する。
このとき、ドアを変えたほうが変える前よりも確率が１／ｎ（ｎー２）だけ高い（ただしｎは３以上）。
です。
本家『モンティ・ホール問題』はｎ＝３の場合なので、確率は１／３高くなります。
確かに、最初の選択のあたる確率は１／３で、変更した場合は２／３でした。
『モンティ・ホール問題』は、言いかえると、
「３択の問題」と「１／３は絶対外れだけど、１択の問題」、どちら？
なのです。
さて、非常に当たり前と思えることを書きますが、今回の応用問題は、ドアの枚数が多くなればなるほど、変更前と変更後の当たる確率の差はどんどん小さくなります。
つまり、無限枚数のドアで考えると、変更前と変更後の当たる確率の差は無限に小さくなりますので、極論、変更してもしなくても、確率は同じになります。
あれ？
これって、マリリンさんに反論した人たちの意見と一致しますね。
司会者はバカヅキ状態
「どちらを選んでも変わらない」と反論した人たちは、なぜそう考えてしまうのか。
Wikipediaでは、このように述べています。
【Wikipediaより引用】
この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった。
ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率は1/2となる。 ところが、2枚のドアの価値はルール (1) - (4) で確率の高い（価値のある）選択をすることが可能となっている。つまり、『どちらを選んでも変わらない』は誤りである。
【ルールについて、Wikipediaより引用】
(1) 3つのドア (A, B, C) に（景品、ヤギ、ヤギ）がランダムに入っている。
(2) プレーヤーはドアを1つ選ぶ。
(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける。
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである。
(5) モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと必ず言う。
※追加注：モンティは司会者のことです。
太字は、珍ぬが太字に変更しました。
太字のところに注目します。
『モンティ・ホール問題』は、
「３択の問題」と「１／３は絶対外れだけど、１択の問題」
どちらを選ぶ？
です。
ただし、この問題は、司会者が絶対に正解のドアを知っているから１００％成立します。
では司会者が、正解のドアを全く知らない素の状態ーー言いかえると、コイントスをして決定する状態ーーならば？
この問題は、
「３択の問題」と「１／３は絶対外れだけど、２択の問題」、どちら？
で、司会者が間違って正解を開けてしまうと、問題不成立になります。
では、問題が成立しない確率は、どれくらいか？
その確率は、１／３は絶対に起こらず、残り２／３での２択なので、
２／３×１／２＝１／３
です。
………と書いても、この数値が一体なんなのか、ピンとこない人もいそう（実は珍ぬも）でしょうから、１００枚のドアの場合でも考えてみます。
「１００択の問題」と「１／９９は絶対外れだけど、９８択の問題」。
この問題が『モンティ・ホール応用問題』として成立しない確率は、司会者が正解のドアを開けてしまうことです。
その確率は、１／１００は絶対に起こらず、残り９８／９９での９８択なので、
１／１００×１／９８＝１／９８００
この数値は、応用問題で求めた、ドアを選び直す選択がどれくらい有利なのかの確率の差と一緒です。
これって、「司会者の運不運で問題が成立するかしないかが決まる」と見てしまうと、
『モンティ・ホール問題』の司会者は
空前絶後の１００％バカヅキ状態。
当然乗らなきゃ損だよね！
なのです。
締め
ということで、長々書いてみました。
一番の懸念事項は、書いたことに間違いあるんじゃないかってことです。
ということで「誤りみつけました！」方の、ご指摘お待ちしております。
大変助かります。
では。
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