慶應義塾大学2020商学部 数学 大問３ ベクトル

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今日は過去問解説にチャレンジします。慶應義塾大学商学部の数学です。問題本体は載せませんので、ご自分で用意してください。

なるべく「与えられた問題文をどう読むか、読んで何を考えるか」と言う点を重点的に解説していきたいと思います。あと、「いかに簡単に、楽して解くか」も重視します。数式を試行錯誤してぐちゃぐちゃやって解けた、と言う話はあまり参考にならないと思いますし。載せているのは考え方だけです。私が普段やっている指導では、これを小出しにしながら誘導していくスタイルを取っています。

多分、クソ真面目に全部やりがちで遅くて間に合わねえ！もっと時間かけたい問題に時間かけられねえじゃねえか！という人にはうってつけの解説かと思います。

大問３（ⅰ）：直線上の点のベクトル表示

直線AB上の点Pを表す方法は、いくつかありますがベクトルで誘導されてるので、ベクトルらしく「寄り道」でいきます。Aに寄り道してもBに寄り道してもいいんですが、とりあえずアルファベットの順番通りAからいきます。

空欄の形にも合うのでこれでOKですね。時間をかけずにやりましょう。

大問３（ⅱ）：複雑な形のベクトル大きさ評価

まあ、複雑なんですけど、tの次数が２次になるので、やることは単なる平方完成です。とりあえずベクトルOPに指定された関数を入れて、最小となるときのtを聞かれているから最初からtで整理したれ、と思って、実際にtで整理すると

こうなります。で、これの絶対値の二乗をまず評価すると、

こうなります。tの二次関数の形になるので、平方完成をします。こういうの、とりあえず最後まで計算する前に、二乗を作って余分なものを引いた時点で、一旦整理します。定数部分を二乗のままにしてるのは、あとで計算が面倒になるからですので、気付いたらこれに戻せばいいです。

ここで、まずいつ最小になるかはわかりますね。当然平方部分がゼロになる時なので、そこをまず書いてしまいます。

次に、その時いくらになるかを計算しますが、平方部分の後ろを計算すれば良いだけですね。平方部分からはみ出てきた部分を整理すると、

こうなるので、分母を同じになるようにまとめていきます。

4=2^2を先に2乗のカッコの中に入れたり、(x^2 + 1)をまとめたりしてます。計算のテクニック１つ１つ磨いて、形を整理できるように、すぐ使えるようにしておかないとこれだけでもずいぶん時間がかかります。

で、これは絶対値の二乗値ですから、最小となるOPの絶対値は、これにルートを被せて、二乗の扱いに注意して記載すると、

こうなります。

大問３（ⅲ）：２つのベクトルが作る三角形の面積

これも、すぐに「ベクトルを使った三角形の面積公式だ！」とか言って計算し始める残念な人がどうしても出てきます。その程度では、慶應義塾大学の数学を相手に横綱相撲を取ることはできません。大体の場合、大問の最後の問題に進むにつれて、前フリが存在します。

（ⅱ）でやったのは、OPベクトルの絶対値の最小値です。これは図形的には何を示してるかといえば…直線ABと原点Oの距離でしょう。つまり、三角形OABにおいて底辺を辺ABと見たときの高さに相当します。

なので、まずABベクトルの長さを計算しましょう。

ということで、三角形OABの面積は、（ⅱ）で求めたベクトルOPの最小値にこれを掛けて、忘れずに1/2を掛けて、

となります。まああとはこの絶対値記号の中身が最大の絶対値を取るような範囲を考えたら良いですね。中身をG(x)などと置いて微分しましょう。

そして、問題文にあるように、xの範囲が0<x<2です。

極小値となるx=2/sqrt(3)と、範囲には含まれていませんが、端っこの２つの値を比べておきましょう。

ということで、安心して以下のように答えをまとめられます。

本日は以上です。難易度は慶應商学部なら例年並みでしょう。

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