GPT-4oに共通テスト数学を解かせたら（前編）

　１年ほど前に、Chat GPTに共通テストの問題を解かせたことがありました。
　GPT-4oになって、どの程度解けるようになったか気になりましたので、この記事を作成しました。

１　どんな問題を解かせるか

　今回、Chat GPTに解いてもらう問題は、
２０２３年度共通テスト数学Ⅰ・Ａ第１問〔２〕（１）です。

　点Oを中心とし、半径が５である円Oがある。
　この円周上に２点A、BをAB＝６となるようにとる。また、円Oの円周上に、２点A、Bとは異なる点Cをとる。
(ⅰ)　sin⁡∠ACB=（サ）である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos⁡∠ ACB=（シ）である。

(ⅱ)　点Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、tan⁡∠ OAD=（ス）である。また、△ABCの面積は（セソ）である。

２０２３年度共通テスト数学Ⅰ・Ａ第１問〔２〕（１）

・　この問題を選択した理由

　まず、最新の問題を解かせたいので、２０２３年度の問題を選びました。
　次に数学Ⅰ・Ａを選んだ理由は、数学Ⅱ・Bより受験者数が多いからです。
　第１問〔２〕（１）を選んだ理由は、他の問題は絶対値記号や図があるため、Chat GPTに解かせることが難しいからです。

２　使用したChat GPT

　GPT-4o（無料版）を使用しました。　

３　(i)を解かせた結果

　点 O を中心とし、半径が5 である円 O がある。この円周上に AB = 6  となるように 2  点  A 、 B  を取る。また、円  O  の円周上に、 2  点  A 、 B  とは異なる点  C  を取るとき、 $${sin ∠ACB}$$ の値を求めます。

まず、円 O の半径を使っていくつかの性質を確認しましょう。
1. 円周上の点 A 、 B  はそれぞれ  O  からの距離が  5  です。
2.  AB  の長さが  6  であることから、円の弦  AB  として位置しています。

ここで三角形  OAB  を考えます。 O  を中心とする円の性質により、半径  $${OA = OB = 5}$$  です。
三角形  OAB  の辺の長さが分かっているので、余弦定理を使用して  ∠AOB  を求めます。余弦定理は次のように与えられます

：$${ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos ∠AOB }$$

ここで、 AB = 6 、 OA = OB = 5  なので

：$${ 6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos ∠AOB }$$

$${ 36 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos ∠AOB }$$
$${ 36 = 50 - 50 \cdot \cos ∠AOB }$$$${ 50 \cdot \cos ∠AOB = 14 }$$
$${ \cos ∠AOB = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} }$$

次に、 ∠AOB が分かれば、 ∠ACB を求めることができます。円周角の性質により、 ∠ACB は中心角 ∠AOB の半分です。
すなわち
：$${ ∠ACB = \frac{1}{2} ∠AOB }$$

また、三角形の正弦定理より
：$${ \sin ∠ACB = \sin \left( \frac{1}{2} ∠AOB \right) }$$
中心角 ∠AOB を求めるために、 $${cos ∠AOB}$$  を使って角度を算出し、その角度を半分にした角度の正弦を計算します。
しかし、ここでは簡略化するために、既知の円周角の性質を利用します。 ∠ACB  は円周角であり、 AB の長さが一定であることから、 A 、 B の位置関係により \sin ∠ACB の値が一定の値を取ることが知られています。
円周上の任意の点 C に対して、 $${sin ∠ACB}$$  は次のように表されます
：$${ \sin ∠ACB = \frac{\text{対辺の長さ}}{\text{2つの半径の積}} }$$
よって
：$${ \sin ∠ACB = \frac{6}{2 \times 5} = \frac{6}{10} = 0.6 }$$
従って、 $${sin ∠ACB = 0.6}$$  です。

GPT-4oの解答

　参考に、Chat GPT 3.5の解答も載せておきます。

円Oの中心を点O、半径をr=5とします。円周上にある2点A、Bの距離がAB=6であるため、角AOBは等脚三角形の頂点角であり、これは60度です（正三角形を形成しています）。・・・

Chat GPT 3.5の解答

４　評価

　まず評価すべきは、今回正しい答えを出せたことです。これはかなりの進歩だと思います。

　次に課題点です。
　この問題の三角形ABCと円Oは、図１のような位置関係です。

図１　問題の図

　おそらく高校生なら、この図を見た瞬間に正弦定理を活用して、$${sin∠ACB}$$の値を求めるでしょう。（図２）

図２　正弦定理を用いた解答

　この解答が、最も簡潔で、AIに求める理想の解答です。
　ですが、GPT-4oの思考は、簡潔とは言い難いものでした。それが課題です。

　GPT-4oは、余弦の値と半角の公式を使った解法なので、かなりの手間になっています。

おわりに

　もし私が高校数学を教えていたら、このGPT-4oの解答を批判的に考察させるレポート課題を出すのも面白いと思いました。

　高校生は正弦定理一択だと思うので、このような解法があるという、新たな考え方にもつながるでしょう。