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GPT-4oに共通テスト数学を解かせたら(前編)
1年ほど前に、Chat GPTに共通テストの問題を解かせたことがありました。
GPT-4oになって、どの程度解けるようになったか気になりましたので、この記事を作成しました。
1 どんな問題を解かせるか
今回、Chat GPTに解いてもらう問題は、
2023年度共通テスト数学Ⅰ・A第1問〔2〕(1)です。
点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。
この円周上に2点A、BをAB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。
(ⅰ) sin∠ACB=(サ)である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos∠ ACB=(シ)である。
(ⅱ) 点Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、tan∠ OAD=(ス)である。また、△ABCの面積は(セソ)である。
・ この問題を選択した理由
まず、最新の問題を解かせたいので、2023年度の問題を選びました。
次に数学Ⅰ・Aを選んだ理由は、数学Ⅱ・Bより受験者数が多いからです。
第1問〔2〕(1)を選んだ理由は、他の問題は絶対値記号や図があるため、Chat GPTに解かせることが難しいからです。
2 使用したChat GPT
GPT-4o(無料版)を使用しました。
3 (i)を解かせた結果
点 O を中心とし、半径が5 である円 O がある。この円周上に AB = 6 となるように 2 点 A 、 B を取る。また、円 O の円周上に、 2 点 A 、 B とは異なる点 C を取るとき、 $${sin ∠ACB}$$ の値を求めます。
まず、円 O の半径を使っていくつかの性質を確認しましょう。
1. 円周上の点 A 、 B はそれぞれ O からの距離が 5 です。
2. AB の長さが 6 であることから、円の弦 AB として位置しています。
ここで三角形 OAB を考えます。 O を中心とする円の性質により、半径 $${OA = OB = 5}$$ です。
三角形 OAB の辺の長さが分かっているので、余弦定理を使用して ∠AOB を求めます。余弦定理は次のように与えられます
:$${ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos ∠AOB }$$
ここで、 AB = 6 、 OA = OB = 5 なので
:$${ 6^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos ∠AOB }$$
$${ 36 = 25 + 25 - 50 \cdot \cos ∠AOB }$$
$${ 36 = 50 - 50 \cdot \cos ∠AOB }$$$${ 50 \cdot \cos ∠AOB = 14 }$$
$${ \cos ∠AOB = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} }$$
次に、 ∠AOB が分かれば、 ∠ACB を求めることができます。円周角の性質により、 ∠ACB は中心角 ∠AOB の半分です。
すなわち
:$${ ∠ACB = \frac{1}{2} ∠AOB }$$
また、三角形の正弦定理より
:$${ \sin ∠ACB = \sin \left( \frac{1}{2} ∠AOB \right) }$$
中心角 ∠AOB を求めるために、 $${cos ∠AOB}$$ を使って角度を算出し、その角度を半分にした角度の正弦を計算します。
しかし、ここでは簡略化するために、既知の円周角の性質を利用します。 ∠ACB は円周角であり、 AB の長さが一定であることから、 A 、 B の位置関係により \sin ∠ACB の値が一定の値を取ることが知られています。
円周上の任意の点 C に対して、 $${sin ∠ACB}$$ は次のように表されます
:$${ \sin ∠ACB = \frac{\text{対辺の長さ}}{\text{2つの半径の積}} }$$
よって
:$${ \sin ∠ACB = \frac{6}{2 \times 5} = \frac{6}{10} = 0.6 }$$
従って、 $${sin ∠ACB = 0.6}$$ です。
参考に、Chat GPT 3.5の解答も載せておきます。
円Oの中心を点O、半径をr=5とします。円周上にある2点A、Bの距離がAB=6であるため、角AOBは等脚三角形の頂点角であり、これは60度です(正三角形を形成しています)。・・・
4 評価
まず評価すべきは、今回正しい答えを出せたことです。これはかなりの進歩だと思います。
次に課題点です。
この問題の三角形ABCと円Oは、図1のような位置関係です。
![](https://assets.st-note.com/img/1717016325799-JKShoocsN3.png?width=800)
おそらく高校生なら、この図を見た瞬間に正弦定理を活用して、$${sin∠ACB}$$の値を求めるでしょう。(図2)
![](https://assets.st-note.com/img/1717016731465-YYqVelKGD2.png?width=800)
この解答が、最も簡潔で、AIに求める理想の解答です。
ですが、GPT-4oの思考は、簡潔とは言い難いものでした。それが課題です。
GPT-4oは、余弦の値と半角の公式を使った解法なので、かなりの手間になっています。
おわりに
もし私が高校数学を教えていたら、このGPT-4oの解答を批判的に考察させるレポート課題を出すのも面白いと思いました。
高校生は正弦定理一択だと思うので、このような解法があるという、新たな考え方にもつながるでしょう。
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