フィボナッチ数列は無理数とお友達！？

１　フィボナッチ数列とは

1,1,2,3,5,8,13,21,・・・のように、隣り合う２項の和が、その次の項の数になっている数列です。また、１番目と２番目の項の数は、両方とも1と決まっています。

例えば、
１番目の項の「１」と、２番目の項の「１」を足すと、３番目の項の「２」となります。

２番目の項の「１」と、３番目の項の「２」を足すと、４番目の項の「３」となります。

２　無理数とは

　無理数とは、$${\sqrt{2}}$$や$${\sqrt{5}}$$のような、分数の形で表すことができない数です。

３　フィボナッチ数列の一般項

もう一度、フィボナッチ数列を確認します。

1,1,2,3,5,8,13,21,・・・

数学では、添え字（文字の右下に書いてある数字）を使って、数列の何番目の数かを表します。

$${a_1=1}$$　※フィボナッチ数列の１番目の数
$${a_2=1}$$　※フィボナッチ数列の２番目の数
$${a_3=2}$$　※フィボナッチ数列の３番目の数
$${a_4=3}$$　※フィボナッチ数列の４番目の数

では、読者の皆様に質問です。

フィボナッチ数列の$${n}$$番目の項の数（一般項）は、$${n}$$を使ってどのように表されるでしょうか？

答えは、次の通りです。

フィボナッチ数列の一般項

　証明は、記事末の参考に示します。

　例えば、この式に$${n=4}$$を代入すると、

　$${a_4=3}$$なので、正しいですね。

３　フィボナッチ数列の不思議さ

　フィボナッチ数列の各項は、すべて自然数です。
　分数や無理数は一切ありません。

　それにも関わらず、一般項を求めようとすると、分数や無理数が登場します。

４　最後に

　このように見ると、分数や無理数の登場は必然ですね。
　フィボナッチ数列は、ウサギのつがいから連想されるように、日常生活の中から生まれやすい数列です。

　「じゃあ１０００番目の項は？」と言われると、１つ１つ計算してもよいですが、一般項を求めて、$${n=1000}$$を代入した方が効率的です。

　そのためには、分数や無理数の概念が必要になってくるというわけです。

　最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

参考

フィボナッチ数列の一般項の求め方

数列$${a_n}$$を次のように定義する。
$${a_1=1,   a_2=1,   a_{n+2}=a_{n+1}+a_n}$$

特性方程式$${α^2-α-1=0}$$を解くと、解は
$${α=\frac{1±\sqrt{5}}{2}}$$

改めて、
$${α=\frac{1-\sqrt{5}}{2} ,  β=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$}
とする。

このとき、
$${a_{n+2}-(α+β)a_{n+1}+αβa_n=0}$$

これと次の式は同値である。

上の連立方程式の上の式は、数列$${{a_{n+1}-αa_n}}$$は、
初項が$${a_2-αa_1=1-α}$$、公比がβより、
$${a_{n+1}-αa_n=(1-α)β^{n-1}}$$　・・・①
と変形できる。

同様に、下の式は
$${a_{n+1}-βa_n=(1-β)α^{n-1}}$$　・・・②

①ー②
$${(β-α)a_n=(1-α)β^{n-1}-(1-β)α^{n-1}}$$

よって、
$${a_n=\frac{(1-α)β^{n-1}-(1-β)α^{n-1}}{β-α}}$$

$${α=\frac{1-\sqrt{5}}{2} ,  β=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$}を代入して整理すると、一般項が得られる。