【自由研究】ペットボトルキャップで数学してみた（ピタゴラス数）【前編】
３と４と５
この３つの数の組み合わせを見て、「あ～、あれね！」と思い浮かんだ方は数学脳です（笑）
この記事では、この「３，４，５」のような３つの数はどんな数なのかを紹介し、同じ性質をもった３つの数の組の見つけ方をペットボトルキャップを使って見つけていきます。
また、今回の内容は、【前編】【後編】の２編構成にしました。
理由は、長いからです。（笑）
もっと簡潔に書ければいいのでしょうが、語彙力無くてすみません。
最後まで読んでいただけるとうれしいです。
1 ３，４，５はどんな性質をもってる？
３，４，５という数字は、こんな性質があります。
$${3^2+4^2=5^2}$$・・・①
このような性質をもっていて、このような３つの数の組み合わせをピタゴラス数といいます。
｛３，４，５｝が①の式を満たすなら、それぞれを２倍や３倍した｛６，８，１０｝や｛９，１２，１５｝もピタゴラス数です。
また、｛６，８，１０｝や｛９，１２，１５｝は、３つの数を２や３で割り切ることができるのに対して、｛３，４，５｝は１でしか割り切れません。このように、３つの数を１でしか割り切れない場合のピタゴラス数を原始ピタゴラス数といいます。
わかりやすく下の図にまとめました。また図のような疑問が生まれました。
「ピタゴラス」と聞くと、中学校で学習したピタゴラスの定理を思い出すと思います。
先ほどの３，４，５の３つの数の組み合わせであれば、
このことを利用して、古代エジプトでは直角を作っていたと言われています。
２ 問題の確認
問題
原始ピタゴラス数は他にもあるのか。あるなら具体例を示せ。
原始ピタゴラス数は無数にあるのか。あるなら生成する式を、ないならばそれを証明せよ。
３ ピタゴラスの定理をよ～～～く見る
ここで再登場。ピタゴラスの定理です。
$${a^2+b^2=c^2}$$
ここで、この$${a,b,c}$$は直角三角形の１つの辺の長さでした。
では長さを２乗したピタゴラスの定理は、辺の長さについての式ではなく、面積についての式と言えます。（※）
どんな図形の面積かというと、一辺を２乗したのだから、正方形の面積ですね。（図４）
（※）
長さを２乗すると、面積になります。これは単位を見るとよく分かります。
長さの単位は$${m}$$ですが、面積の単位は$${m^2}$$のように、$${m}$$が2乗されるのです。
２つの正方形の面積を足して、１つの正方形の面積にする。
これをペットボトルキャップで表現してみる価値がありそうです。
４ ペットボトルキャップでの確かめ方法
５ キャップを使ってやってみる！！
・ １辺の長さが２の正方形の場合
この場合、
①で一辺の長さが２の正方形を作り、
②で一辺の長さが３の正方形を作った。
数式で表すと、
$${2^2+b^2=3^2}$$
という形まで作っている。
あとは、図５の③のキャップで正方形を作れればいいのですが、できませんでした。（図６）
・ 周りに付け加えるキャップを増やす
下の図のように、周りに付け加えるキャップの数を増やせば、もしかしたら正方形を作れるかもしれません。
ここで、最初に付け加えた１組のキャップをまとめて１層、次に付け加えた１組のキャップを２層というように呼ぶこととします。
２層に増やした場合、このように正方形はできませんでした。
３層に増やしても、正方形はできませんでした。
これ以上層を増やしても、直感的にできそうにありません。（※）
なので、１辺の長さが３の正方形について考えてみましょう。
※ 証明は記事の最後に紹介しています。
・ １辺の長さが３の正方形の場合
③を変形して正方形を作れるか。
残念ながら作れません。
層を増やしてみると、どうでしょう。
ようやくできました👏👏
６ 見出した正方形が作れる条件
図１２の変形で気づいたことがあります。
それは、最初に一辺の長さが３の正方形があった隙間に２層目のキャップを移動させれば正方形を作れたということです。（図１３）
これを、もう少し一般的に表現すると、こうなります。
最初に一辺の長さが$${n}$$の正方形があったとする。
この正方形の周りにペットボトルキャップを付け加えたとき、第$${k}$$層のキャップの数と正方形のキャップの個数が一致すれば、必ず正方形を作ることができる。（図１４）
７ おわりに
前編の記事では、ここまでとします。
次回の記事では、最後に見出した正方形を作れる条件を利用して、原始ピタゴラス数を見つけていきます。
・ ※の証明
１層、２層、３層のそれぞれのキャップの個数は５，７，９です。
$${k}$$層までのキャップの個数の合計を$${S_k}$$とすると、
$${S_1=5}$$
$${S_2=5+7=12}$$
$${S_3=12+9=21}$$
です。
$${S_k}$$の一般項を求めると、
$${S_k=k^2+4k}$$
因数分解すると、
$${S_k=k(k+4)}$$
この右辺を見ると、明らか$${S_k}$$は平方数ではないので、正方形が作れないということになります。
後編はこちら↓↓
最後まで読んでいただき、ありがとうございました！！
