【大阪大学2021年度前期入試数学(理系)第4問】積分の皮をかぶった整数問題
第4問は積分問題のふりをした整数問題です．積分のことはあまり意識しなくてけっこうです．
この問題はあまりきれいに解こうと考えない方がいいです．素直に積分の計算をして，a, b, c からなる方程式を出してみることです．考えるのはそれから．
実際に 2(a^2+ab+b^2)+3c2+3ab=0 という方程式を出してみると，2(a^2+ab+b^2) 以外の項は 3 の倍数なので，a と b に関して何か条件が定まることが予想されます．そこで，a^2+ab+b^2 の部分から (a+b)^2 か (b−a)^2 の形を無理やり作って残りの形を見たくなると思います．
上記の (1) はそのような考えに基づいて変形しております．あとは自然な議論で進めています．
後半である (2) は c に具体的な値が代入されているので，2(a^2)+5ab+2(b^2) の部分を積の形で表したいと考えて因数分解を行っています．これは整数問題の定石ともいえる手法です．
そのことさえ分かれば，あとは難しい議論ではないと思います．とはいえ，整数問題は昔から鬼門であり，(2) どころか (1) でつまずいた受験生も多かったかもしれません．
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