【一橋大学2021年度前期入試数学第3問】易しいけれど何となくスッキリしない領域問題

一橋大学　兼松講堂
2008年9月20日、Wiiii撮影、Wikipediaより

問題

次の問いに答えよ。

(1) a, b を実数とし，2次方程式 x^2 - ax + b = 0 が実数解 α，β をもつとする。ただし，重解の場合は α = β とする。3辺の長さが 1, α, β である三角形が存在する (a, b) の範囲を図示せよ。

(2) 3辺の長さが 1, α, β である三角形が存在するとき，
　　　　　(αβ + 1)/(α + β)^2
の値の範囲を求めよ。

解答解説

(1) 最初に 2次方程式 x^2 - ax + b = 0 が実数解をもつ条件より、判別式を D とおくと、D = a^2 - 4b ≧ 0 より b ≦ (a^2)/4 となります。

次に、解と係数の関係より α + β = a かつ αβ = b から (β - α)^2 = (α + β)^2 - 4αβ = a^2 - 4b が得られます。

一般性を失うことなく α ≦ β とおくと、1, α, β を 3辺とする三角形が存在する条件は
・α > 0
・α + β > 1
・1 + α > β すなわち β - α < 1
の 3 条件を満たすことなので、
・αβ = b > 0
・α + β = a > 1
・β - α = √{(a^2) - 4b} < 1 すなわち b > {(a^2) - 1}/4
が成立すれば条件を満たすこととなります。以上をまとめると次の通りです。
・a > 1
・b > 0
・{(a^2) - 1}/4 < b ≦ (a^2)/4
これを図示すると以下の通りになります。(黄色い線の右、緑の線の下、紫の線の上の領域で、黄色と紫の線上を含まず、それ以外の緑の線上を含む。)

(2) ですが、まず (αβ + 1)/(α + β)^2 = (b + 1)/(a^2) となります。よって、(1/4) + 3/(4a^2) < (αβ + 1)/(α + β)^2 ≦ (1/4) + 1/(a^2) が得られます。ここで、a > 1 であることから
・1/4 < 左辺 < 1
・1/4 < 右辺 < 5/4
となるので、与式のとる値の範囲は 1/4 < (αβ + 1)/(α + β)^2 < 5/4 となります。

感想

ちょっとした処理に気持ち悪さがあるかもしれませんが、基本的には一本道の問題だと思います。あまり難しく考えないことです。