【名古屋大学2021年度前期入試数学(理系)第2問】(1/α) + (1/β) + (1/γ) と αβγ = 1 を見たら…

名大の第2問は気が付けば瞬殺できる問題ですが、果たして気が付くでしょうか？

名古屋大学東山キャンパス
2016年4月17日、DrKssn撮影、Wikipediaより

問題

4つの実数を α = log_{2} 3，β = log_{3} 5，γ = log_{5} 2，δ = 3/2 とおく。以下の問に答えよ。

(1) αβγ = 1 を示せ。

(2) α，β，γ，δ を小さい順に並べよ。

(3) p = α + β + γ，q = (1/α) + (1/β) + (1/γ) とし，f(x) = x^3 + px^2 + qx + 1 とする。このとき f(-1/2), f(-1) および f(-3/2) の正負を判定せよ。

解答解説

(1) と (2) は易しいです。問題は (3)。

(1) は、α = (log 3)/(log 2)，β = (log 5)/(log 3)，γ = (log 2)/(log 5) であるので、αβγ = (log 3 × log 5 × log 2)/(log 2 × log 3 × log 5) = 1 でおしまい。

ここで、log は常用対数で、log 2、log 3、log 5 のいずれも 0 ではないです。(実は対数の底は何でもいいです。)

(2) は最初に log 2 ≒ 0.3010、log 3 ≒ 0.4771、log 5 = 1 - log 2 ≒ 0.6990 を思い出してください。(今回は必要ないですが、log 7 ≒ 0.8451 も基本。)

これを用いると
・α ≒ 1.585
・β ≒ 1.465
・γ ≒ 0.431
・δ = 1.5
であることから、γ < β < δ < α の順になることが分かります。

ただしこれは近似値でしかないので、きちんと示す必要があります。でも、最初から順番が分かっていれば隣同士の大小関係を示せばよい。これが重要。

逆に順番が分かっていないと、例えば α と β の比較を行う可能性があり、それは無駄でしかありません。それを避ける意味がある。

まず最初に、log 2 < log 3 < log 5 より γ < 1 かつ α, β, δ = 1.5 > 1 は自明であるので γ は最小となります。

次に 25 < 27 より 5 = √25 < √27 = 3^{3/2} であるので、β = log_{3} 5 < log_{3} 3^{3/2} = 3/2 = δ となります。

最後に、8 < 9 より 2^{3/2} = √8 < √9 = 3 であるので、δ = 3/2 = log_{2} 2^{3/2} < log_{2} 3 = α となります。

よって、小さい順に γ (< 1) < β < δ < α となります。

さて、(3) です。(1) から q = (βγ + γα + αβ)/αβγ = αβ + βγ + γα が気が付くかどうかが全てです。

これに気が付けば f(x) = x^3 + (α + β + γ)x^2 + (αβ + βγ + γα)x + αβγ = (x + α)(x + β)(x + γ) が求まります。

ちなみに、√5 > √4 = 2 に注意すると γ = log_{5} 2 < log_{5} √5 = 1/2 なので、γ < 1/2 < 1 < β < 3/2 < α が求まります。よって、

f(-1/2) = (α - 1/2)(β -1/2)(γ -1/2) < 0
f(-1) = (α - 1)(β - 1)(γ - 1) < 0
f(-3/2) = (α - 3/2)(β - 3/2)(γ - 3/2) > 0

が得られます。

感想

(3) はよくあるしかけなので、見た瞬間に気が付いて欲しいところです。実際、初見で p = α + β + γ と (1) の αβγ = 1 から f(x) = (x + α)(x + β)(x + γ) がすぐに頭に浮かんで、q を見てなるほどと納得しています。

この時点(問題を読んだ直後)で (2) 以外は方針は固まっていて、(2) も log の値を入れれば順番は確かめられるので、さほど困ることはないだろうと思っています。δ = 3/2 なので、比較の際に √　が出てくる感覚もあります。

ということで、困る要素が全くないまま解答を書きあげています。そのくらい簡単だと思います。

とはいえ、(3) は気が付かない可能性もありそうです。その場合でも (2) までは解いて欲しいというか、解けないと困る問題だと思います。