【一橋大学2021年度前期入試数学第5問】ふーん、な積分問題？確率問題？

一橋の入試問題も今回が最後。最後の問題もちょっと受験生を舐めすぎているなぁ…という印象です。

一橋大学　兼松講堂
2008年9月20日、Wiiii撮影、Wikipediaより

問題

サイコロを3回投げて出た目を順に a, b, c とするとき，
　　∫_{a-3}^{a+3} (x - b)(x - c) dx = 0
となる確率を求めよ。

解答解説

大した積分ではないので、画像を使わずにこのまま書くことにします。

左辺 = [(1/3)(x^3) - (1/2)(b+c)(x^2) + bcx]_{a-3}^{a+3} = (2/3){9(a^2) + 27} - (b+c)(6a) + 2bc×3 = 6(a^2) - 6(b+c)a + 6bc + 18 = 6 × {(a - b)(a - c) + 3}

ということで、(a - b)(a - c) + 3 = 0 を満たす a, b, c の組をリストする。

・a = 1 のとき、(a - b)(a - c) ≧ 0 より (a - b)(a - c) + 3 > 0 となり成立しない。
・a = 2 のとき、(b, c) = (1, 5), (5, 1) のときのみ 左辺 = 0 となる。
・a = 3 のとき、(b, c) = (2, 6), (6, 2) のときのみ 左辺 = 0 となる。
・a = 4 のとき、(b, c) = (1, 5), (5, 1) のときのみ 左辺 = 0 となる。
・a = 5 のとき、(b, c) = (2, 6), (6, 2) のときのみ 左辺 = 0 となる。
・a = 6 のとき、(a - b)(a - c) ≧ 0 より (a - b)(a - c) + 3 > 0 となり成立しない。

よって、左辺 = 0 となるのは8通りである。よって、確率は 8/(6^3) = 1/27 となります。

感想

積分と確率の融合問題と言えば聞こえはいいですが、要は積分計算したあとは式の値が 0 となる変数の組を列挙してください、というだけの問題です。

コロナの影響があるのは分かりますが、そうだとしてもいい問題だとは思えないです。本番でなければ解くだけ時間の無駄です。