昔悩んだ数学の問題の解き方（前編）

多分、本気で読む人は皆無と思われます。昔悩んだ数学の問題の解き方です。すごく長いので、2回に分けて書こうかなと。

昔、ビートたけしさんの番組で見た問題です。すごくなやんでようやく答えにたどりついたんで、ちょっと嬉しくて書いちゃってますｗ

問題は、

「連続する自然数の和が1000になる組み合わせを全て答えよ」

です。

これですね、考え方としては、連続する数字の個数が偶数個のときと奇数個のときに分けて考える必要があるんです。

今日は奇数個のほうから。

まず連続する数字の個数が奇数の場合（200,201,202だと3個、10,11,12,13,14だと5個という風に）を考えます。

連続する数字が奇数ということは、それらの数字を並べると、必ず「真ん中」に1つ数字が現れます。上の例だと

200,201,202　→ 201が真ん中
10,11,12,13,14 → 12が真ん中

となります。その真ん中の数字を軸にして、両隣の数字をたすと、真ん中の数字の2倍になります。どういうことかというと、

200,201,202の場合、200を中心にして200+202 =402、これは201 x 2

10,11,12,13,14の場合、12を中心にして11+13=24、10+14=24、つまり12 x 2

これを一般的に書くと、こんな風に表されます。

中心の数字をAとすると、

・・・(A-2),(A-1),A,(A+1),(A+2)、・・・

と表せます。つまり、

(A-n)+・・・(A-2)+(A-1)+A+(A+1)+(A+2)・・・+(A+n)=1000

となるAを探せばいいのです。nは自然数です。上の式を両隣の数字を足してやるように変形すれば、

A＋{(A-1)+(A+1)}+{(A-2)+(A+2)}＋・・・{(A-n)+(A+n)}=1000

これは

A＋2A＋2A＋・・・2A＝1000

ということになります。左の式のAに掛けられる数字は必ず奇数になります。

奇数xA=1000

ということは、1000を奇数で割りきれるパターンを探せばよいことになります。割り切れるパターンを小さい数字からさがしていくと、

1のときA=1000（これは意味なし）
3のとき割り切れない
5のときA=200
7のとき割り切れない
9のとき割り切れない
・
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25のときA=40
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・
125のときA=8
・

さて、ここまで見て、割り切れたのは奇数が5のときと25のとき、125のときまで出しました。

上の結果が何を意味しているかというと、Aは連続する数字のちょうど真ん中の数で、奇数の数は、連続する数字の個数を表しています。よって、

A=200で奇数が5ということは、

198,199,200,201,202

ということを意味します。足してみると・・おぉ！1000ではないか！

次にAが40のとき、奇数は25です。つまり、

28,29,30,31,・・,39,40,41,・・,49,50,51,52

となります。これもめんどくさいですが、Excelでサクッと計算してみると・・おおおっ！1000だ！

さて、次のA=8のとき、奇数が125個となっているのですが、よくよく考えてみると、8を中心にして両隣に124個の数字を並べることはできないですね。なので、この場合はあてはまりません。これより大きな奇数が出てきても同様の考え方になるので、

連続する数字が奇数の場合、

198,199,200,201,202
28,29,30,31,・・・,49,50,51,52

の2通りがあることがわかりました。

ふぅ。疲れた。

けど、これで終わりではないです。

連続する数字が偶数の場合も考えなければなりません。

続きは次回です。

それではまた！

日々感謝 m(_ _)m