中学の数学 (8-4) 素数は無限にある

2024年4月26日 23:37

今日できるようになること

素数は無限であることを説明できる

素数は無限にあるそうです。

無限というのは，終わりがないということです。どうして，そんなことが言えるのでしょう。

現在わかっている素数が n 個あるとします。

$$
p_1, p_2, p_3 \cdots p_{n-1}, p_n
$$

それを掛け合わせて，１を足します。できた数を m としましょう。

$$
m_1 = p_1 \times p_2 \times p_3 \cdots p_n + 1
$$

$${m_1}$$ を素因数分解します。自然数は素因数分解できます。現在わかっている素数はさきほど書き出したとおりです。

$$
p_1, p_2, p_3 \cdots p_n
$$

これらの素数で割っても，必ず 1 余ります。

$$
\frac{p_1 \times p_2 \times p_3 \cdots p_n + 1}{p_1}
$$

上は $${p_1}$$ を例にしましたが, $${p_2}$$ や $${p_3}$$ でも同じです。割り切れません。

ということは, $${p_1 \cdots p_{n}}$$ 以外の素数でないと，$${m_1}$$ は割り切れないことになります。

素数はまだあるということになります。その素数を $${p_{n+1}}$$ としましょう。そして，新しい数 $${m_2}$$ をしたのとおり作ります。

$$
m_2 = p_1 \times p_2 \times p_3 \cdots p_{n} \times p_{n+1} + 1
$$

$${m_2}$$ を素因数分解します。しかし，さきほどと同様，$${p_1, p_2, p_3 \cdots p_{n+1}}$$ のいずれの素数で割っても 1 余ります。割り切れません。

やはり，新しい素数 $${p_{n+2}}$$ が必要です。

このようにいくらでも同じことが繰り返されます。無限に繰り返すことができます。ということは，素数は無限にあるということです。

数えなくても（もちろん，無限ですから，数え終わりませんが），素数が無限にあることが言えるというのは，とてもおもしろいですね。