熱海中学校　２学期中間試験対策　中３　数学

二次方程式①因数分解

基本となる考えは、

A×B＝０なら

Aが０またはBが０。

数学の「または」って表現はややこしくて、

「夕飯はカレーまたはパスタにしよう」

って時には、

①カレーだけ
②パスタだけ
③カレーもパスタも

の３パターンがあります。

覚えておいて損はありません。

話を戻すと、

(ｘ＋２)(ｘー３)=0

だったら、

ｘ＋２＝０
ｘ＝ー２

または

ｘー３＝０
ｘ＝３

ということで、答えはー２、３。

毎回移行なんて面倒なので、符号を逆にすればOKです。

気をつけたいのは、

ｘ（２ｘー１）＝０

みたいな時。

ｘまたは２ｘー１が０。

ｘ＝０は大丈夫のはず。

問題はもう１個。

２ｘー１＝０なので
２ｘ＝１
ｘ＝1/2

ｘに代入したときに０になる数字を考えればOK。

ということで、解はｘ＝０、1/2

因数分解はできるようにしておきましょう。

二次方程式②平方根

ｘ²＝４の意味を考えると、

ｘは２乗すると４になる数字。

それって４の平方根じゃん！

ということで、解はｘ＝±２。

プラスマイナス忘れないように。

ｘ²ー５＝０
ｘ²＝５
ｘ＝±√5

分数バージョンは分母と分子を別々に考えればOK。

二次方程式③平方完成

平方根の考え方が使えるように、無理矢理変形します。

ｘ²＋４ｘー８＝０

因数分解したいけどできない・・・

両辺に４を足す。

ｘ²＋４ｘ＋４ー８＝０＋４

左辺の一部を因数分解。

（ｘ＋２）²ー８＝４

（ｘ＋２）²＝１２

平方根の考え方を使用。

ｘ＋２＝±2√3

ｘ＝ー２±2√3

二次方程式④解の公式

まず解の公式を丸暗記してください。

学校でも暗記させられたはずです。

あとは計算を間違えないように。

二次方程式の利用

立式は比較的簡単です。

図に長さを書き込むと間違いにくいです。

最大のポイントは、最後に「問題に適しているかを考える」こと。

ちゃんとした先生なら、１年生の一次方程式や２年生の連立方程式でも確認させられたはずです。

二次方程式では「不適」「問題に適さない」解が多々出現します。

２つ出てくる解の片方は問題に適さないと思った方がよいです。

y=ax²のグラフ

グラフの描き方は教科書や問題集で確認してください。

よくでるのは、４つグラフ（放物線）が描いてあって、４つ式が書いてあって、どれがどれか当てる問題です。

下に凸（上に開いている）か上に凸かは、比例定数の符号で判断。

あとは開き具合の問題。

比例定数が大きければ大きいほど、ｙの値もどんどん大きくなっていきます。

例えば、ｙ＝１００ｘ²とｙ＝ｘ²の放物線。

ｘ＝１のときはそれぞれ、ｙ＝１００、ｙ＝１。

ｘ＝２のときはそれぞれ、ｙ＝４００、ｙ＝４。

ｙ＝１００ｘ²の方が開き具合が狭い放物線になります。

これは分数でも同じなので、通分するなりして比較してください。

変化の割合

ラッキー問題。

ほぼ１００％出ます。

y=ax²での値がAからBまで増加する時の変化の割合は

a(A＋B)

です。

ｙ＝ー３ｘ²でｘの値がー５から２まで増加する時の変化の割合は、

ー３（ー５＋２）
＝ー３×（ー３）
＝９

終了です。

変域

変域の問題は簡易的にグラフ（放物線）を描いてください。

放物線上のｘの変域の場所に印をつけると、ｙの最小値と最大値の場所が分かります。

最小値≦ｙ≦最大値

と書けば正解です。

ｘの変域は全部で３パターン。

①負の数≦ｘ≦負の数

②負の数≦ｘ≦正の数

③正の数≦ｘ≦正の数

要注意は②。

aが正の数の時には０≦ｙ≦最大値

aが負の数の時には最小値≦ｙ≦０

になります。

このあたりも、放物線を描いて考えると間違いにくいです。

出る問題がかなり特定できるので、基礎問題集を中心に基礎的な問題を繰り返し解きましょう。