親子の年齢関係にまつわるたのしい数式

本日はお祝いがあります。
祝い事の前に、親子の年齢関係にまつわる算数の問題について書いていきます。

親子の年齢差・年齢比を使ったクイズ

一般に年齢算と称される問題は、中学受験から大人のSPI試験などでも活用される有名な計算問題で、基本形は以下のようなものです。

現在A君は10歳。お母さんは30歳です。お母さんの年齢がA君の年齢の2倍になるのは何年後でしょうか。

答え. 10年後

解き方は単純な方程式なので割愛ですが、ところで興味深いのは、年齢差は一定だが、年齢比はだんだん縮まっていくことです。
上記の例で言うと、現在3倍で、10年後に2倍になりますが、その後は二人の年齢比率が整数値になることはありません。

もう少し具体的に見てみると、整数倍の関係になるのは、上記の20歳差を例にすると、

1歳：21歳（21倍）
2歳：22歳（11倍）
4歳：24歳（6倍）
5歳：25歳（5倍）
10歳：30歳（3倍）
20歳：40歳（2倍）

というように6回あることがわかります。ちなみに21歳差だと4回になります。ここで以下のような問題にたどり着きます。

「親と子の年齢が整数比になる回数に一般解は存在するか？」

実験と解答

問題について考えてみます。いくつか実験をしてみると、出生時年齢別の整数比回数や、その時を迎えるタイミングは、このようになっているようです。どのような法則があるでしょうか。

そうなんです。こたえは、出生時親年齢の約数の個数と一致します。
ちなみに解説ですが、せっかくなので数学の問題らしくした場合の設問と解答は以下のようになります。

おわりに

個人的には、特に最後の整数比年、つまり年齢比が２倍の関係になる年は、数字的意味以上に深い意味を持っていると思っており、なんと言っても、自分を産んでくれた時の親と同じ年になるわけです。

吉日の一種である、一粒万倍日のような表現を借りて、年齢二倍年とでも名付けましょうか。
時代も違うけど、当時の親はどんな気持ちだったのだろう、などの想いに耽けながら、長きに渡り育ててもらった憧れの存在に、また一歩近づいたと感慨深くなることもあるでしょう。

そして、この記事を今日書いた理由、冒頭に述べたお祝い事についてですが、自分の母親が本日2021年7月6日に還暦を迎えました。さらに、自分は今年で30歳を迎え、吉年である年齢二倍年にもあたります。
そんな日そんな年を、お互いに健康で迎えられたことを嬉しく思います。

プレゼントメッセージを添えて、この記事の締めとします。
お母さん、還暦おめでとう。これからも健康を大切に元気で。また帰ります。