数理科学系登録への道のり (2/2)
↑これの続きです。数学系科目の紹介です。
※注意: 各科目の「成績のつけ方」「授業のやり方」は全て僕自身が受講したクラス・年度のもので、担当の先生によって変わる可能性があります。
代数学
高校までの「代数」は主に方程式の解き方について学びますが、大学で学ぶ代数学とは「群・環・体」ならびに「加群」をはじめとする「代数的構造」というものについて研究する学問です。群・環・体・加群とは、ざっくりいうと
群: 都合の良い性質を持った演算ができる集合 (物の集まり)
環: 「足し算」「引き算」「掛け算」ができる集合
体: 「割り算」もできる環 (0で割ることは除く)
(環上の)加群: 「足し算」「引き算」「スカラー倍」ができる集合
のことです。例えば、整数全体の集合$${\Z}$$、有理数全体の集合$${\mathbb{Q}}$$、実数全体の集合$${\R}$$はいずれも環になります。このうち、このうち、$${\mathbb{Q}}$$と$${\R}$$は体でもありますが、$${\Z}$$は体ではありません ($${1\div 2=0.5}$$ は整数じゃないから)。
線形代数学 (講義・演義) A
配当: 1回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点+演義の出席回数および得点で決定
授業のやり方: 週1回の「講義」に加え、後で紹介する「微分積分学A」と隔週で「演義」があります。「演義」は担当の先生によってやり方に違いがありますが、僕のクラスでは先生が出す演習問題を自分のペースで数十分間かけて解いて、その後解説を聞くという形式で、毎回宿題もありました (年度やクラスによっては小テストを実施することもあったみたいですが僕のクラスではありませんでした)。
線形代数学は習い始めの人にとっては「行列」のイメージがかなり強いと思いますが、本質的には「ベクトル空間」や、2つのベクトル空間の間の「線形写像」について研究する学問です。
ベクトルは高校では「向きと大きさを持つ量」として習いますが、これは2次元、あるいは3次元のユークリッド空間に属する「幾何ベクトル」のことであり、一般にベクトルとは「ベクトル空間の要素」のことを指します。冒頭で「環上の加群」という言葉が出てきましたが、ベクトル空間とは「環上の加群」の「環」を「体」に昇格させたもの、つまり「体上の加群」のことです。大学のカリキュラムではこのベクトル空間を「群・環・体」よりも先に習うことになっていますが、そもそもベクトル空間 (="体"上の加群) の定義に体の概念が必要なので、入学前に予め「群・環・体」について最低限の知識をつけておいた方がより理解しやすくなると思います。
ベクトル空間 (=体上の加群) の、体でない環上の加群と大きく違うところは必ず「基底」というものを持つということです。基底とは、そのベクトル空間内のあらゆるベクトルを作るために最低限必要なベクトルの集合のことです。一般に、1つのベクトル空間に対して、基底は1通りとは限りませんが、どの基底であっても「基底を構成するベクトルの個数」は同じになります。この「基底のベクトルの個数」のことを、そのベクトル空間の次元といいます。これが、皆さん大好きな (?)「次元」という言葉の定義です*。
*「次元」には他に「フラクタル次元」や「クルル次元」など色々ありますが、これらはベクトル空間の次元とはまた別の概念です。
線形代数学 (講義・演義) B
配当: 1回生後期
成績のつけ方・授業のやり方: 前期と同様
注意点: 基本的にはどのクラスも前期 (A) と後期 (B) では担当する先生が違います (つまり前期で担当した先生が後期で続投することはありません)。「微分積分学A・B」でも同様です。
行列の「固有値」と「対角化」がメインテーマ。対角化を利用すれば、行列の累乗を楽に計算したり、応用例として、かの有名な「フィボナッチ数列」の一般項を求めたりすることもできます。対角化は変換先の対角行列を求めるだけならまだ楽ですがサンドイッチする正則行列 (modal matrix) を求めるが超面倒くさいです。あとは「グラム・シュミットの直交化法」も重要ですが憶えてもすぐ忘れちゃうんで問題を解くときほぼ毎回教科書を見返してた気がします。
線形代数学続論
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点のみで決定
先程の「線形代数学 (講義・演義) B」で行列の対角化について学びますが、どんな行列でも対角化できるわけではありません。しかし、複素数を成分とする行列であれば、必ず「ジョルダン標準形」という「ほぼ対角行列」みたいなのに変換することができます。ジョルダン標準形の存在証明は初めての人にはかなり難解だと思いますし、本によってやり方が結構違ったりします。僕としては担当の先生が参考にされていた『テンソル代数と表現論: 線型代数続論』(池田岳 著) に書いてあるのが一番分かりやすい気がします。
代数学入門
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 中間試験+期末試験の得点で決定
主に群論を扱います (環論は3回生の「代数学I」、体論は3回生の「代数学II」で扱われるそうです)。最終目標は「有限アーベル群の構造定理」を証明することですが、アーベル群は「$${\Z}$$ (整数全体がなす環) 上 の加群」と考えるとより扱いやすくなるので加群の理論も出てきます。これに関連して、行列のジョルダン標準形を「続論」で習ったのとは違う、「単因子論」というものを利用した方法で求めることもできるようになります。
代数学入門演習
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 毎週の課題の得点で決定 (期末試験なし)
授業のやり方: 直前の「代数学入門」で扱った内容に関する例題を授業中に先生が解説し、その後課題 (オンラインで翌週までに提出) に取り組むという形式でした。
注意点: 「代数学入門」(講義) とは独立した科目なので、講義と演習のうち片方だけ履修することもできます。両方履修する場合、成績は別々でつけられるので、講義の試験の点数が悪くても演習の得点で補ったりすることはできません。後で紹介する「集合と位相演習」「幾何学入門演習」も同様です。
幾何学
大学で習う幾何学は位相幾何学や微分幾何学などといった分野であり、高校までの初等幾何学とは全く雰囲気が違います。「三角形」「四角形」「円」などの具体的な図形の性質ではなく、「○○な性質を持っている集合は××な性質も持ち合わせている」みたいな論理に重点が置かれます。
集合と位相
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 元々中間試験+期末試験の得点で決定する予定でしたが、受講者数が教室キャパをオーバーしてオンラインになったためどちらもレポートに代えられました。
「集合」パートでは集合と写像 (=関数) の基本事項について、「位相」パートでは位相空間について学びます。位相空間というのは「位相」という構造を備えた集合のことで、この「位相」によって、図形の「内部」「外部」「境界」などの概念を定義することができるほか、図形を「点と点の繋がり方」によって分類することができます。「ドーナツとマグカップは同じ形」という話を聞いたことがある方もいらっしゃるかと思いますが、そこでいう「同じ形」とは2つの図形の位相の構造が同じ (位相同型、同相) という意味です。例えば、「アルファベットの大文字」を、太さのない曲線からなる図形として考えると、
$${\textsf{M}}$$と$${\textsf{N}}$$は同相である (どちらも1本の線分を折り曲げて作ることができるため)
$${\textsf{D}}$$と$${\textsf{O}}$$は同相である (どちらも閉曲線であり、1つだけ穴が開いているため)
$${\textsf{T}}$$と$${\textsf{Y}}$$は同相である (どちらも交点から3本の線分が伸びているため)
$${\textsf{X}}$$と$${\textsf{Y}}$$は同相ではない (Xは4つ股、Yは3つ股のため)
ということが言えます。もちろんフォントにより差異はありますが、ここではLaTex標準のサンセリフ体 ”Computer Modern Sans Serif” で考えています。
集合と位相演習
配当: 2回生前期
成績のつけ方・授業のやり方: 「代数学入門演習」と同様。
幾何学入門
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 中間試験+期末試験の得点で決定
主にホモトピーと (ユークリッド空間内の) 多様体について扱います。先ほどアルファベットの大文字$${\textsf{X}}$$と$${\textsf{Y}}$$は同相ではないと紹介しましたが、これらは「ホモトピー」の観点では同じ形 (ホモトピー同値) であり、どちらも「可縮である」(1つの点に押しつぶすことができる) という性質を持っています。「多様体」とは「局所的にユークリッド空間と同相な図形」、分かりやすくいうと地図を描ける (座標を設定できる) 図形のことです。最後の1～2回で微分幾何学 (曲率など) についても触れられます。
新しく憶えないといけない用語が結構多い印象がありました。
幾何学入門演習
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 毎週の課題の得点で決定 (期末試験なし)。発表したことのある人には発表回数に応じてボーナス点が入りました。
授業のやり方: 毎週、直前の「幾何学入門」で扱った内容に関する問題が13～15問程度出て、そのうち1～2問が提出課題になっていました。授業中は問題を解いて、どれか (提出課題に該当する問題を除く) が解けた人は立候補して前で発表してもよいということになっていました (僕も簡単な問題ばかりでしたが何回か発表しました)。
解析学
解析学とは「極限」や「収束」、そしてそこから派生する「微分」と「積分」について扱う学問です。
微分積分学 (講義・演義) A
配当: 1回生前期
成績のつけ方: 本来なら期末試験+演義の得点で決定されるはずですが、僕のクラスでは担当の先生の独自方針によりなんと期末試験がなく、演義の得点だけで決まりました。
授業のやり方: 「線形代数学A」と基本的には同様。ただし、僕のクラスでは「演義」は教室には集まらずオンラインで課題に取り組みました。
この講義では、最初に高校の「数学III」では定義があやふやにされていた「極限」や「連続性」の概念を「ε-δ論法」や「ε-N論法」によってきちんと定式化します。これが世間の大学1年生にとっては第一関門になっているようです。担当の先生曰く、ε-δ論法に慣れるためには「ε-δ論法の練習に特化した問題集をやるよりも、自分がよく知っている関数の連続性を証明してみるのがいい」とのことです。
その後は極限の概念に基づいて「微分」と「積分」を定義し、実数の集合$${\R}$$が持つ「完備性」と呼ばれる性質から「最大値の原理」や「中間値の定理」などを導出します。積分は高校では微分の逆として習いますが、大学では「有限和 (=面積) の極限」として定義されます。つまり、「微分と積分が逆の関係である」ということは「定義」ではなく「定理」(微分積分学の基本定理) になります。
微分積分学 (講義・演義) B
配当: 1回生後期
成績のつけ方: 期末試験の得点+演義の出席回数および得点で決定
授業のやり方: 「線形代数学B」と同様
主に無限級数や多変数関数の微分・積分について扱います。特に重積分の変数変換はこの先ベクトル解析や確率論などで頻繁に使うので気合いを入れて習得しましょう。
微分積分学続論I - ベクトル解析
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点のみで決定
電磁気学や流体力学などにも応用されるベクトル場の線積分、面積分などを扱います。正直あまり楽しくなかったです……。担当の先生の教え方がちょっとアレだったという理由もありますが、とある先生曰く「ベクトル解析は物理向けなので数学科の学生には面白くない」とのことなので、学問的な性質もあるかも。
微分積分学続論II - 微分方程式
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点+課題 (2回) の得点で決定
基本的な常微分方程式を扱います。微分方程式を解くための統一的な方法というのはなく、パターンによって解法が大きく変わるので覚えるのがちょっと大変かも。例えば、
$${\dfrac{dy}{dx}=xy^2}$$ → 変数分離型
$${\dfrac{dy}{dx}=\sin\left(\frac{y}{x}\right)}$$ → 同次型
$${\dfrac{dy}{dx}=xy+x^2}$$ → 線型
などなど。
関数論
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 期末試験の得点+課題 (2回) の得点で決定
注意点: 例年、後期に3クラスが開講され、好きなクラスを選ぶことができます (ただし、担当の先生がクラスによって違うのでもしかしたら当たり外れがあるかも)。
上の4科目は全て実数の集合やユークリッド空間上の関数を扱う「実解析」でしたが、この科目からいよいよ複素平面上の関数を扱う「複素解析」の分野に入ります。微分や積分を複素数の範囲へ拡張するのですが、複素関数の「微分可能性」は実関数のそれよりもかなり強力な条件なので、普通は「微分可能性」ではなく「正則性」と呼ばれます。この科目のハイライトは「コーシーの積分定理」と、そこから派生する色々な積分公式です。コーシーの積分定理を使うと、(一定の条件を満たせば)「積分の経路を変える」という技ができます。この技を使うと、例えば
$$
\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx
$$
のような、高校の「数学III」の知識だけではできないような実関数の積分もできます。また、複素積分を応用すれば、かの有名な「代数学の基本定理」(複素数を係数とする$${n}$$次方程式は重複度を含めて$${n}$$個の解を持つ) を証明できるようになります (この定理は代数学の基本定理という名でありながら純代数的な証明は無理で、必ずどこかで解析学の知識を援用しないといけないそうです)。
解析学入門演習
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 毎週の小テスト+レポ―ト課題の得点で決定 (期末試験なし)。
授業のやり方: 毎回小テスト (3題・60分) がありました。前半は主に「微積B」「ベクトル解析」「微分方程式」から、後半は専ら「関数論」の内容から出題されます。ただし、具体的な細かい出題内容は事前に予告されませんでした (後半は概ね「関数論」の授業の進度に沿っていましたが)。たまにレポート課題も出されます。
僕の場合、満点で返ってきた問題もあった反面白紙で提出した問題も結構あったのですが、レポート課題の成果もあってか、意外と点数はかなり良かったです。なのであまり出来なくても落ち込む必要はないと思います。
非線型解析入門
配当: 2回生後期
成績のつけ方: 期末試験の得点+課題 (2回) の得点+毎週の感想の提出状況で決定
物理現象を微分方程式で表す「力学系」や、最大値・最小値問題の定義域を「関数空間」に拡張した「変分法」などについて扱います。この科目も「ベクトル解析」と同様に物理向けという印象があります。
科目名が「線形」ではなく「線型」になっていますが、本来は「線型」の表記の方が正しいのだそうです (ちなみに中国語では「線形」でも「線型」でもなく「線性」といいます。拼音は声調の違いを除けばどれも xianxing (シェンシン) なんですがね)。
その他
現代数学の基礎A・B
配当: 1回生前期 (A)・後期 (B)
成績のつけ方: 毎週の課題+期末試験の得点で決定
「線形代数学A・B」「微分積分学A・B」で習う内容を強化する科目です。課題の量が結構多いですが、数学的な証明の作法を鍛えるよい練習になります。
Honors Mathematics A - E2
配当: 1回生後期
成績のつけ方: 2021年度は期末試験がなく、毎週の課題の得点で決定されました。
All Englishで行われる数学の授業です。理学部では卒業要件として「E科目を4単位以上修得すること」があり、この科目 (A) と2回生前期のBでちょうど4単位獲得できるので、数理科学系希望の人には (英語が極端に苦手でなければ) この “Honors Math” シリーズを履修することを強くお勧めします。
All Englishなので、課題も全て英語で書いて提出しないといけません。ただ、英語で証明を書くときの具体的な作法については教えられなかったので、僕は『数学のための英語教本』(原田なをみ・David Croydon 監修 / 服部久美子 著) という本を買って自主的に勉強しました。
扱われるトピックは毎年、担当の先生によって変わるそうですが2021年度は「公理的集合論 (ZFC)」と「数の作り方」について扱われました。
数学における「集合」とは素朴には「何らかの条件を満たすものの集まり」のことですが、このような素朴な定義だと「ラッセルのパラドックス」と呼ばれる致命的な矛盾が生じてしまうことが分かっています。それを解消するために、ツェルメロ (Zermelo) とフレンケル (Frænkel) は集合にいくつかの公理 (ルール) を課し、公理から逸脱するような集合を作れないようにしました。その後、選択公理 (Axiom of Choice) と呼ばれるものも追加され「ZFC集合論」が完成しました。
現代の数学では、「数」というものは集合論の概念を使って定義されます。具体的には、まず自然数全体の集合$${\N}$$を「ペアノの公理」によって定義し、次に整数全体の集合$${\Z}$$を「自然数の対」からなる集合として定義し、有理数全体の集合$${\mathbb{Q}}$$を「整数の対」からなる集合として定義し、そして実数全体の集合$${\R}$$を$${\mathbb{Q}}$$の「デデキント切断」と呼ばれるもの全体の集合として定義します。これについては、現在は絶版になりましたが、『数をつくる旅5日間』(瀬山士郎 著) という本に詳しいことが書かれています。
Honors Mathematics B - E2 ※履修取消
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点+課題の得点で決定
上の続編。ただ、2022年度の回は僕にはレベルが高過ぎたので途中で履修取消しました。言い忘れていましたが、前期・後期の授業開始日から約2か月後に科目の履修を取り消すことができる期間があります。ごく一部の科目を除きどんな科目でも履修取消できます。このためE科目のもう2単位分は別の全学共通科目で補いました。
確率論基礎
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点+課題 (1回) の得点で決定
大学で習う確率論はまず「確率空間」というもの定義し、そこから独立性や期待値、確率分布など理論を築いていきます。微分や積分を頻繁に使うので、高校の「数学A」で習う確率論とは全然雰囲気が違います。
数値計算の基礎
配当: 2回生前期
成績のつけ方: 期末試験の得点のみで決定
コンピューターで連立方程式を解いたり、定積分を計算したりするのに必要な理論について扱います。コンピューターは扱える桁数に限界があるので、計算するときはどうしても誤差が発生してしまい、誤差が積み重なると本来あるべき結果から大きく外れた結果になってしまいます。もっと言うと、その結果が間違いであることに気づけるとも限りません。特に医療分野ではこのようなミスが人命に関わってしまう恐れもあります。そのため、誤差を正しく評価し、意識しながら計算する必要があります。具体的には主に行列のノルム、条件数、ヤコビ法、ガウス＝ザイデル法、中点則、台形則、ルンゲ＝クッタ法について扱います。
数理統計
配当: 2回生後期
成績のやり方: 期末試験の得点のみで決定
全学共通科目の「統計入門」(2回生前期クラス指定) で習う内容の数学的な理論づけをします。ただ、新しく習う事項がほとんどない上に、この科目は系登録選考基準の推奨科目には含まれていないので、「統計入門」既修者は受講しなくてもいいと思います。
これで1～2回生で修得した数学系科目の紹介を終わります。念願の数理科学系に無事登録できたことに安堵していますが、系登録はゴールではなくあくまで中間点に過ぎないので、これからの3～4回生を実りあるものにしていきたいと思います。
最後まで読んで下さりありがとうございました。
もしよろしければ僕のTwitterも見ていって下さいね (数学の話は全然しないけど)。
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