【数B】等差数列の考え方①一般項

高校の数列で初めて触れるのは、等差数列ですよね。
「等差」の意味は、差が等しいということ。
つまり、隣あった項の差が常に等しいということですね。
言い換えれば、「同じ数だけ増えていく」数列。
感覚的にめちゃくちゃシンプルな数列だと思います。

具体例

例えば以下の数列。

$$
1,4,7,10,13,16, \Box ,22,25, \cdots
$$

どうでしょう、$${\Box}$$に入る数字は分かりますか？
3ずつ増えているのが分かるので、答えは19ですね。

もちろん、減っていく数列だってあります。

$$
10, 3, \Box, -11, -18,-25\cdots
$$

これはどうでしょう、$${\Box}$$に入る数字は分かりますか？
7ずつ減っているのが分かるので、答えは-4ですね。

簡単でしょう？
等差数列の性質はこんなものです。

じゃあこれを一般化するとどうなるのか、ってことですね。

一般項

等差数列で大事になるのは初項$${a_1}$$（1番初めの項）と公差$${d}$$（各項の差）です。これを使って、$${n}$$番目の項$${a_n}$$を書き表せれば良いってわけです。

$${a_n}$$は$${a_1}$$に$${d}$$を$${n-1}$$回足したものですよね。
※$${n}$$回じゃないことに注意！$${a_2}$$は$${a_1}$$に1回しか$${d}$$を足してないですよね。

ということは、

$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$

以上。これで一般項の完成です。
これだけ。
この程度の数式を「丸暗記」しようとしないでくださいね！
これくらいは考えて導けるようにした方が良いです。

例題

簡単な問題を解いてみましょうか。

次の等差数列の一般項を求められますか？

$$
1,4,7,10,13,16, 19 ,22,25, \cdots
$$

これは、初項が1で公差が3ですので、

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align}
{a_n} &=1+(n-1) \times 3  \nonumber \\
&=3n-2  \nonumber \\
\end{align}
$$

となります。

ではこちらは？

$$
10, 3, -4, -11, -18,-25\cdots
$$

これは、初項が10で公差が-7ですので、

$$
\def\arraystretch{3}
\begin{align}
{a_n} &=10+(n-1) \times (-7)  \nonumber \\
&=-7n+17  \nonumber \\
\end{align}
$$

となるわけです。

いま、あえて公式っぽく導いてみました。
本当は、もっと感覚的に導けます。
それはどういうことかと言うと…

感覚的な一般項の出し方

まずは先ほどのこれ。

$$
1,4,7,10,13,16, 19 ,22,25, \cdots
$$

これは、公差が3ですので、

$$
a_n = 3n \pm \bigcirc 
$$

という形になるはず。それで$${n=1}$$のときに1にならないといけないから、つじつまを合わせるように、

$$
a_n = 3n -2 
$$

とすればいいわけです。
こちらの方が感覚的に一般項を出せると思うのですよ。
不安だったら$${n=1,2,3}$$など、いくつか具体的に代入して確かめてみればOK。
シンプルじゃないですか？

ではこちらも試してみましょう。

$$
10, 3, -4, -11, -18,-25\cdots
$$

これは公差が-7ですので$${-7n}$$が入るはず。
初項、つまり$${n=1}$$で10にするには17を足せばいいから

$$
a_n = 17-7n
$$

これで終わりです。

数列の成り立ちを理解すればこのくらい瞬時に出せるようになるはず！

苦手意識を持たないようになってくれたら幸いです。

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