数演算子の固有値が非負整数であることの証明
前提
数演算子$${\hat N:=\hat a^\dag\hat a}$$の固有値が非負整数であることを証明していく。但し$${\hat a,\hat a^\dag}$$は交換関係
$$
\begin{align*}
[\hat a,\hat a]&=[\hat a^\dag,\hat a^\dag]=0\\
[\hat a,\hat a^\dag]&=1
\end{align*}
$$
を満たすものとする。
固有値が非負であること
以下では数演算子の固有値$${
