数演算子の固有値が非負整数であることの証明

前提

数演算子$${\hat N:=\hat a^\dag\hat a}$$の固有値が非負整数であることを証明していく。但し$${\hat a,\hat a^\dag}$$は交換関係

$$
\begin{align*}
[\hat a,\hat a]&=[\hat a^\dag,\hat a^\dag]=0\\
[\hat a,\hat a^\dag]&=1
\end{align*}
$$

を満たすものとする。

固有値が非負であること

以下では数演算子の固有値$${n}$$に属する規格化された固有状態を$${\ket n}$$と書くことにする。すなわち

$$
\hat N\ket n=n\ket n,\ \braket{n|n}=1
$$

である。この両辺に左から$${\bra n:=(\ket n)^\dag}$$をかけると

$$
\begin{align*}
\bra n\hat N\ket n&=\bra nn\ket n\\
\bra n\hat a^\dag\hat a\ket n&=n\braket{n|n}\\
n&=(\bra n\hat a^\dag)(\hat a\ket n)\ge0
\end{align*}
$$

であるから、数演算子の固有値は非負実数である。

固有状態の上げ下げ

ここでは固有状態の上げ下げの式

$$
\begin{align}
\hat a\ket n&=\sqrt n\ket{n-1}\\
\hat a^\dag \ket n&=\sqrt{n+1}\ket{n+1}
\end{align}
$$

を簡単に説明しておく。生成消滅演算子及び数演算子の交換関係

$$
\begin{align*}
[\hat a,\hat a^\dag]&=1\\
[\hat N,\hat a]&=-\hat a\\
[\hat N,\hat a^\dag]&=\hat a^\dag
\end{align*}
$$

から

$$
\begin{align*}
\hat N(\hat a\ket n)&=([\hat N,\hat a]+\hat a\hat N)\ket n=(n-1)(\hat a\ket n)\\
\hat N(\hat a^\dag\ket n)&=([\hat N,\hat a^\dag]+\hat a^\dag\hat N)\ket n=(n+1)(\hat a^\dag\ket n)
\end{align*}
$$

が成り立ち、$${\hat a\ket n}$$と$${\hat a^\dag\ket n}$$がそれぞれ固有値$${n-1}$$と$${n+1}$$に属する固有状態であることが分かる。規格化条件などを課して比例定数としてそれぞれ$${\sqrt n,\ \sqrt{n+1}}$$を選ぶことができるので(1)式が成り立つ。

固有値が非負整数であること

数演算子の固有値が0以上の非整数$${m}$$であると仮定する。このとき、$${n-1< m< n}$$を満たす自然数$${n}$$が存在する。$${(\hat a)^{n+1}\ket{m}}$$という状態のノルムを(1)式を用いて計算すると、

$$
\begin{align*}
\bra{m}(\hat a^\dag)^{n+1}(\hat a)^{n+1}\ket{m}
&=\bra{m-n}\sqrt m\sqrt{m-1}…\sqrt{m-n+1}\hat a^\dag\hat a\sqrt m\sqrt{m-1}…\sqrt{m-n+1}\ket{m-n}\\
&=m(m-1)…(m-n+1)\bra{m-n}\hat N\ket{m-n}\\
&=m(m-1)…(m-n+1)(m-n)<0
\end{align*}
$$

となってしまい、エルミート内積の正定値性に反するので、仮定が否定される。よって数演算子の固有値は非負整数である。