ポケカと数学②-2: マリガンする確率

ウホーイ（@the_uhooi）です。
ポケカと数学②-1 を一般化していなかったので、本記事で紹介します。

「マリガン」とは？

トレーディングカードゲームにおいて、最初に引いた手札が悪いときに、特定の条件を満たしていれば引き直しを認めるルールのこと。
参考: https://ja.wikipedia.org/wiki/マリガン

ポケモンカードゲームでは、最初の手札にたねポケモンが1匹もいなかった場合にマリガンが発生します。

前記事では専門用語であるマリガンを使わずに説明しましたが、本記事では使います。

問3: たねポケモンをN枚積んだときにマリガンする確率

前記事の問1を一般化します。

【問3】
60枚のカードのうち, 同じ種類のカード（Aカードとする）がN枚入っている.
7枚引いたとき, Aカードが1枚も含まれない確率を求めよ.

解3

前記事の問1から式は以下となります。

$$
P(A) = \frac{{}_{60-n} \mathrm{C}_7}{{}_{60} \mathrm{C}_7} \\
$$

Nに数字を当てはめて計算し、一覧で示します。

$$
\begin{array}{c:c}
N & 確率 \\
\hline \\
1 & 80.33 \% \\
2 & 77.85 \% \\
3 & 68.46 \% \\
4 & 60.05 \% \\
5 & 52.54 \% \\
6 & 45.86 \% \\
7 & 39.91 \% \\
8 & 34.64 \% \\
9 & 29.98 \% \\
10 & 25.86 \% \\
11 & 22.24 \% \\
12 & 19.06 \% \\
13 & 16.28 \% \\
14 & 13.86 \% \\
15 & 11.75 \% \\
16 & 9.92 \% \\
\end{array}
$$

たねポケモンを12枚積めば5回に1回以下、16枚積めば10回に1回以下にマリガンを抑えられることがわかります。

問4: たねポケモンをN枚積んだときにマリガンをM回繰り返す確率

前記事の問2を一般化します。

【問4】
60枚のカードのうち, 同じ種類のカード（Aカードとする）がN枚入っている.
7枚引いたとき, Aカードが1枚も含まれない事象をBとする.
事象BをM回繰り返す確率を求めよ.

解4

前記事の問2から式は以下となります。

$$
P(A) = (\frac{{}_{60-n} \mathrm{C}_7}{{}_{60} \mathrm{C}_7})^m \\
$$

NとMに数字を当てはめて計算すれば一覧を求められますが、本記事では省略します。

おわりに

たねポケモンの枚数によってマリガンする確率がどれくらい変わるかがわかりました。
デッキ構築の参考になると嬉しいです。