ポケカと数学①: 初手でバトピを引く確率
ウホーイ（@the_uhooi）です。
つけ麺屋さんでつけ麺を食べているときに「初手で「バトルVIPパス（以下「バトピ」と呼ぶ）」を引く確率ってどれくらいなんだろう？」と気になったので、実際に計算してみました。
問1: バトピを4積みしたときに初手で引く確率
ポケモンカードはデッキが60枚固定であり、初手の手札は7枚 + 最初に引く1枚 = 8枚が基本です。
まずはバトピを4積みしたときを考えます。
数学の問題に置き換えると考えやすいので、置き換えます。
【問1】
60枚のカードのうち, 同じカード（カードAとする）が4枚入っている.
8枚引いたとき, カードAが1枚以上含まれている確率を求めよ.
解1
解1-1: 1枚ずつ引いて余事象を求める
事象 $${A}$$ に対して、「 $${A}$$ が起こらない」という事象を $${A}$$ の 余事象 といい、 $${\overline{A}}$$ で表す。
引用: 数学A 東京書籍
余事象 $${\overline{A}}$$ の確率は次の通りです。
$$
P(\overline{A}) = 1 - P(A)
$$
引用: 数学A 東京書籍
つまり「1 - （8枚引いてカードAを1枚も引かない確率）」を求めればいいとわかります。
8枚引いてカードAを1枚も引かない確率を考えます。
まず60枚のカードから1枚引き、カードAでない確率は $${\frac{60 - 4}{60} = \frac{56}{60}}$$ です。
次に59枚のカードから1枚引き、カードAでない確率は $${\frac{(60 - 4) - 1}{60 - 1} = \frac{55}{59}}$$ です。
これらが同時に起こる確率は $${\frac{56}{60} \cdot \frac{55}{59}}$$ です。
したがって、解答は次のようになります。
$$
P(A) = 1 - P(\overline{A}) \\
= 1 - \frac{56}{60} \cdot \frac{55}{59} \cdot \frac{54}{58} \cdot \frac{53}{57} \cdot \frac{52}{56} \cdot \frac{51}{55} \cdot \frac{50}{54} \cdot \frac{49}{53} \\
= 1 - \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57} \\
= 1 - \frac{13 \cdot 17 \cdot 5 \cdot 49}{3 \cdot 59 \cdot 29 \cdot 19} \\
= 1 - \frac{54145}{97527} \\
= \frac{43382}{97527} \\
= 0.44482041 \\
\fallingdotseq 44.48 \%
$$
つまりバトピを4積みしても、初手で2回に1回も引けません。
意外と少ないです。
解1-2: 場合の数で余事象を求める
事象 $${A}$$ の確率は次のようにもなります。
$$
P(A) = \frac{事象 A の起こる場合の数}{起こり得るすべての場合の数}
$$
引用: 数学A 東京書籍
60枚のカードから8枚引くのは $${{}_{60} \mathrm{C}_8}$$ 通りです。
60枚のカードから8枚引いてカードAを1枚も引かないのは、カードAの4枚を除いた56枚から8枚引くのと同じなので $${{}_{56} \mathrm{C}_8}$$ 通りです。
したがって、解答は次のようになります。
$$
P(A) = 1 - P(\overline{A}) \\
= 1 - \frac{{}_{56} \mathrm{C}_8}{{}_{60} \mathrm{C}_8} \\
= 1 - \frac{\frac{56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \\
= 1 - \frac{56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53 \cdot 52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54 \cdot 53} \\
= 1 - \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57} \\
$$
あとは解1-1と同じなので省略します。
問2: バトピを3積みしたときに初手で引く確率
次はパトピを4積みでなく3積みしたときに初手で引く確率を考えます。
【問2】
60枚のカードのうち, 同じカード（カードAとする）が3枚入っている.
8枚引いたとき, カードAが1枚以上含まれている確率を求めよ.
解2
問1と同様にして解きます。
$$
P(A) = 1 - P(\overline{A}) \\
= 1 - \frac{57}{60} \cdot \frac{56}{59} \cdot \frac{55}{58} \cdot \frac{54}{57} \cdot \frac{53}{56} \cdot \frac{52}{55} \cdot \frac{51}{54} \cdot \frac{50}{53} \\
= 1 - \frac{52 \cdot 51 \cdot 50}{60 \cdot 59 \cdot 58} \\
= 1 - \frac{13 \cdot 17 \cdot 5}{3 \cdot 59 \cdot 29} \\
= 1 - \frac{1105}{1711} \\
= \frac{606}{1711} \\
= 0.35417884 \\
\fallingdotseq 35.42 \%
$$
4積みしたときに比べ、確率が約10%下がりました。
問3: バトピをN積みしたときに初手で引く確率
任意の枚数を積んだときに初手で引く確率を計算して、一覧で示します。
【問3】
60枚のカードのうち, 同じカード（カードAとする）がN(<= 4)枚入っている.
8枚引いたとき, カードAが1枚以上含まれている確率を求めよ.
解3
$$
\begin{array}{c:c}
N & 確率 \\
\hline \\
0 & 0 \% \\
1 & 13.33 \% \\
2 & 25.08 \% \\
3 & 35.42 \% \\
4 & 44.48 \% \\
\end{array}
$$
1枚変わるごとに確率は約10%増減することがわかりました。
おわりに
ポケモンカードで特定のカードを初手で引く確率がわかりました。
これで一歩ポケモンカードバトルが強くなったような気がします。
他にポケカの計算で気になることがあれば、またnoteに記事を書こうと思います。