ピンポン玉から放物線を求める

こんにちは。

今日はピンポン玉が跳ねる様子から放物線を描いてみます。

撮る

家にピンポン玉があったので使います。

iPhoneのスローモーション機能で跳ねる様子を撮影しました。

グラフにする

トラッキングさせる

この映像を3DCG制作ソフトウェアBlenderにインポートします。

Blenderには映像をインポートしてトラッキングできる機能があるので、そちらを使います。

このように特徴的な部分（今回はピンポン玉）を追従させることができます。

ちなみに、壁と床の境界付近でトラッカーが迷子になることがよくありました。

迷子

高さをグラフにする

次に、3D空間上の球体を追従させたトラッカーにくくりつけます。

まるで本物のピンポン玉みたいですね。

そうしたらこの球体の高さをキーフレームに保存します。

これをグラフにすると…

放物線の完成です！！！

放物線を観察

では、この放物線を数式を使って表してみましょう。

Desmosのグラフ機能を使います。

画像をインポートして、

これに合う式を見つけます。

今回は$${y=-3.55x^{2}+4.0825x}$$でした。

ちなみにこのグラフには興味深い特徴があり、跳ね上がった部分のグラフはすべて合同（な図形を切り取ったもの）なんです。

動かしてみたほうがわかりやすいと思います。

このことをなにかの動画で見たような気がするのですが、覚えていません。わかり次第、ここに載せたいと思います。

反発係数を求めてみる

最後に、反発係数を求めて見ます。

詳しいことは知らないので省きますが、反発係数は$${\sqrt{\frac{跳ねた後の高さ}{跳ねる前の高さ}}}$$で求められるそうです。

$$
y=-3.55x^{2}+4.0825x
$$

の傾きが0の点が最大値なので

$$
\frac{dy}{dx}=-7.1x+4.0825=0
\\x=0.575
\\y=-3.55\cdot0.575^{2}+4.0825\cdot0.575=1.17371875
$$

これを跳ねる前の高さとします。

跳ねた後の高さは

$$
y=1.17371875-0.27=0.90371875
$$

とします。

なので、床とピンポン玉との反発係数は

$$
\sqrt{\frac{0.90371875}{1.17371875}}≈0.877
$$

です。

2物体間の反発係数は反発係数の乗算の平方根によって求まるため、床の反発係数を$${e_{1}}$$、ピンポン玉の反発係数を0.9としたとき、

$$
\sqrt{e_{1}\cdot0.9}=\sqrt{\frac{0.90371875}{1.17371875}}
$$

となるので

$$
e_{1}\cdot0.9=\frac{0.90371875}{1.17371875}
\\e_{1}=\frac{0.90371875}{1.17371875\cdot0.9}≈0.856
$$

とわかります。

おまけ

記事で使用したグラフへのリンクも載せます。ぜひ改造してみてください。

（おしまい）

※計算などに誤りがあれば教えて下さい。