群論入門part5 同値関係と剰余類

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※5.2節に命題Aを追加（2021/8/27 9:29)

5.1.同値関係

※以降、演算・で定義された群Gについて、a,b∈Gに対しa・bをabと表記することにする。また特に断らない限り、群Gといったら演算は・とする。

定義１
集合Aと記号~に関して、
(i)任意の元a∈Aに対して、a~a（反射律）
(ii)元a, b∈Aに対して、a~b⇒b~a（対称律）
(iii)元a,b,c∈Aに対して、a~b,b~c⇒a~c（推移律）
が成り立つとき、~をA上の同値関係という。

例１
等号＝は同値関係である。しかし、≠や<, >は同値関係ではない。（≠は反射律と推移律を、<と>は反射律と対称律を満たさない）

例２
2以上の自然数pと整数m, nに対して、m≡nを「m－nはpの倍数」と定義する。（これを高校数学では合同式と呼び、m≡n mod pと表す）これは有理整数環ℤの同値関係となる。実際、
(i)任意のm∈ℤに対し、m－m=0=0×pとなるため、m≡m
(ii)m, n∈ℤに対してm≡nならばm－nはpの倍数であるから、n－m=－(m－n)もpの倍数となる。よってn≡m
(iii)m,n,k∈ℤに対して、m≡n, n≡kならば、m－n, n－kはいずれもpの倍数となるので、m－k=(m－n)+(n－k)もpの倍数となる。よってm≡k ▢

例３（重要）
群Gとその部分群H、元g, h∈Gに対してg~hを「gh⁻¹∈Hが成り立つ」と定義すると、~はG上の同値関係となる。実際
(i)任意の元g∈Gに対し、gg⁻¹=e∈H（∵HはGの部分群）なのでg~g
(ii)g,h∈Gに対しg~hならばgh⁻¹∈Hが成り立つので、hg⁻¹=(gh⁻¹)⁻¹∈Hとなりh~gを得る。
(iii)f,g,h∈Gに対しf~g,g~hならばfg⁻¹, gh⁻¹∈Hが成り立つので、
fh⁻¹=(fg⁻¹)(gh⁻¹)∈Hとなり、f~hを得る。

定義２
集合SとS上の同値関係~とx∈Sに対して、[x]={y∈S | x~y}をxの同値類という。

例４
実数体ℝと等号=に関して、x∈ℝにおける同値類は[x]={y∈ℝ| x=y}={x}となる。

例５
例２により定めた有理整数環ℤ上の同値関係≡に関して、n∈ℤにおける同値類は[n]={m∈ℤ| n≡m}={m∈ℤ| n－m=kp (k∈ℤ)}={n+kp | k∈ℤ}となる。特にnが0≦n≦p－1の範囲にある場合、[n]はpであるとn余る整数全体の集合であることがわかる。ちなみにこの場合、nの同値類はn+pℤと表記される場合は多い。

定義３
集合SとS上の同値関係~に対し、同値類全体からなる集合をS/~と表す。すなわち、S/~={[x] | x∈S}。このS/~をSの同値関係~による商集合という。また、写像S→S/~：x↦[x]を自然な写像という。

定義４
S/~の元Cに対して、x∈CとなるSの元をCの代表元という。また、集合AにS/~の各元Cの代表元がただ一つ含まれているとき、Aを同値関係~の完全代表系という。

Rem
完全代表系の表し方は一通りではないことに注意。例えばS/~={C, D}として、c₁,c₂∈C、d₁,d₂∈Dならば{c₁,d₁},{c₁,d₂},{c₂,d₁},{c₂,d₂}はいずれも完全代表系である。

例６
例２により定められた有利性数館ℤ上の同値関係≡に関して、例５で得た事実からℤ/≡={pℤ, 1+pℤ, 2+pℤ,...,(p－1)+pℤ}={k+pℤ| k=0,1,2,...,p－1}となることがわかる。このℤ/≡はのちの定義５によりℤ/pℤと表される。また、{0,1,2,...,p－1}はℤ上≡の完全代表系となる。

5.2.左剰余類と右剰余類

定義５
群Gと部分群H、g,h∈Gについて
(i)g~hを「g⁻¹h∈Hが成り立つ」と定義すると、~はG上の同値関係となる。各元g∈Gに対しgの同値関係~による同値類をgHと表し、gのHによる左剰余類という。また、G/~をG/Hと表す。
(ii)g~hを「gh⁻¹∈Hが成り立つ」と定義すると、~はG上の同値関係となる。各元g∈Gに対しgの同値関係~による同値類をHgと表し、gのHによる右剰余類という。また、G/~をH\Gと表す。

Rem
(i)や(ii)で定めた~が同値関係であることは先に述べた例３を参照

例７（巡回群の左剰余類）
（巡回群が何か忘れた方はpart3の記事を参照）
位数6の元aに対し、巡回群〈a〉={e,a,a²,a³,a⁴,a⁵}の部分集合〈a²〉={e,a²,a⁴}は〈a〉の部分群となる。（証明は略）
〈a〉上の同値関係を定義５(i)の~でさだめると、非負整数mが偶数ならば、
aᵐ〈a²〉={h∈〈a〉|a⁻ᵐh∈〈a²〉}={aⁿ|nは偶数}=〈a²〉
非負整数mが奇数ならば、
aᵐ〈a²〉={h∈〈a〉|a⁻ᵐh∈〈a²〉}={aⁿ|nは奇数}=a〈a²〉となるので
〈a〉/〈a²〉={〈a²〉,a〈a²〉}となる。
また、完全代表系の1つは{e,a}。

例８（３次対称群の左剰余類）
３次交代群A₃は３次対称群S₃の部分群である。
（３次交代群A₃の定義は群論入門part2.1の定義４を参照）
S₃上の同値関係を定義５(i)の~でさだめると、３次の置換σが互換ならばσは３次の奇置換であるから
σA₃={δ∈S₃|σ⁻¹δ∈A₃}={δ∈S₃|σδ∈A₃}={δ∈S₃|δは奇置換}=(1 2)A₃
３次の置換σが互換でないならばσ∈A₃であり、σは２つの互換σ₁とσ₂の積σ₁σ₂であらわされるから
σA₃={δ∈S₃|σ⁻¹δ∈A₃}={δ∈S₃|σ₂⁻¹σ₁⁻¹δ∈A₃}={δ∈S₃|σ₂σ₁δ∈A₃}={δ∈S₃|δは偶置換}=A₃。
以上からS₃/A₃={A₃,(1 2)A₃}となり、完全代表系の1つは{e,(1 2)}

Rem
ここでgHは同値類として定義したが、一方でgHは{gh|h∈H}として定義される場合もある。しかし、これらは以下の命題により同じ集合であることがわかる。そのため、これ以降はgHを{x∈G|g⁻¹x∈H}として議論するときもあれば{gh|h∈H}として議論をする場合もあることに注意されたい。

命題A[2021/8/27 9:29追加]
群Gと部分群Hと元g∈Gに対し、gH={gh | h∈H}が成り立つ。

証明
まずgH⊂{gh|h∈H}を示す。
x∈gHとすると、g⁻¹x∈Hとなるからh∈Hをh=g⁻¹xとさだめれば、この両辺の左側からgをかけることによりx=ghとなるのでx∈{gh|h∈H}が成り立つ。よって、gH⊂{gh|h∈H}が示された。
次に、gH⊃{gh|h∈H}を示す。
x∈{gh|h∈H}とすると、x=gh'なるh'∈Hが存在する。このとき、g⁻¹x=g⁻¹gh'=h'∈Hを満たすためx∈gHが成り立つ。よって、gH⊃{gh|h∈H}が示された。▢

Rem
例６に登場したℤ/pℤは位数pの巡回群となる。まず、ℤ/pℤ上の演算+を次のように定める；
n+pℤ, m+pℤ∈ℤ/pℤに対し、(n+pℤ)+(m+pℤ)=(n+m)+pℤ
また、指数を次のように定める；
n+pℤ∈ℤ/pℤと整数kに対して(n+pℤ)ᵏ=kn+pℤ
このとき、pℤはℤ/pℤの単位元となり、n=0,1,...,p－1に対してn+pℤの逆元は(p－n)+pℤとなる。実際、
(n+pℤ)+((p－n)+pℤ)=p+pℤ={m∈ℤ| p－m=kp,k∈ℤ}={{m∈ℤ| m=(1－k)p,k∈ℤ}=pℤとなる。（これよりℤ/pℤは演算+について群をなす）
さらに(1+pℤ)ᵖ=p+pℤ=pℤとなるため1+pℤの位数はpとなり、
〈1+pℤ〉={(1+pℤ)ⁿ|nは整数}={n+pℤ|nは整数}={n+pℤ|n=0,1,...,p－1}
=ℤ/pℤ
以上からℤ/pℤは位数pの巡回群である。

以降、位数pの巡回群をℤ/pℤであらわすことにする。（じつはこの書き方がメジャーなのである）

以上

追記
part6を投稿しました。同値類、剰余類の性質及びラグランジュの定理に関してです。