群論入門part3 位数と巡回群と位数

※part4がなくても怒らないでください
※群論入門part2「対称群」はこちら
※誤植間違いがある可能性は０ではないため各自確認しながらお読みください。また教えていただけると嬉しいです

3.1.（群の）位数

定義１（群の位数）
群Gの要素の数（集合論でいうGの濃度）を群Gの位数といい、|G|と表す。

定義２
群Gに対し、|G|が有限値であるときGを有限群といい、有限群でないときGを無限群という。

例１
整数全体からなる集合ℤは足し算に関して群をなす。ℤは当然無限集合であるため、無限群となる。

例２
３次対称群S₃は６つの元からなる集合であるから、|S₃|=6であり、有限群。

3.2.生成される部分群

定義３
Gは演算・によって群をなしており、Hは群Gの部分集合であるとする。Hが演算・によって群をなすとき、Hを群Gの部分群であるという。

例３
３次対称群S₃について、恒等写像ｅ、１,２,３を２,３,１に並び替える置換をσ、１,２,３を３,１,２に並び替える置換をδとすると、
集合A₃＝{ｅ, σ, δ}は S₃ の部分集合であり、置換の合成に関して群をなすため、A₃＝{ｅ, σ, δ}は S₃ の部分群となる。

命題１
定義３は次と同値。
●群Gの部分集合Hについて、
(i)HはGの単位元ｅを含む
(ii)HはGの演算・によって閉じている（つまり、a,b∈H ⇒ a・b∈H)
(iii)各元a∈Hに対し、HはaのGにおける逆元a⁻¹を含む（つまりa∈H⇒a⁻¹∈H）
が成り立つ。

証明
まず、HがGの部分群ならば(i)～(iii)が成り立つことを示す。
(i) Hは演算・について群となるので群Hにおける単位元ｅ' が存在する。
一方、任意のHの元はGの元でもあるため、Gの単位元ｅとＨの元ｈを用いて
e・h＝h, e'・h＝hが成り立つ。すなわち、e・h＝e'・h。
両辺の左からｈの逆元をかけることで、e＝e'を得る。
(ii) 群の定義（群論part1の定義１「集合Gにおいて演算G×G→G：(g,h)↦g・hが定義され」の部分）から成り立つ。
(iii) Hは演算・について群となるので、各元a∈Hに対して群Hにおける逆元bが存在する。また、aは群Gの元でもあるから群Gにおける逆元a⁻¹も存在。
逆元の定義から、a・b＝e, a・a⁻¹＝eが成り立つのでa・b＝a・a⁻¹。この式の両辺の左側からｂをかけるとb＝a⁻¹を得る。

次に(i)～(iii)が成り立つならHがGの部分群であることを示す。
(i)から単位元の存在がわかり、(ii)から演算・がHにおいて群を定義するするのに適していることがわかり、(iii)から逆元の存在もわかる。また、Gは演算・についての群であるから、Gにおいて演算・は結合法則を満たしている。HはGの部分集合であるから特に演算・はHにおいても結合法則を満たす。以上からHは演算・について群となる。▢

命題２
定義３は次と同値
●群Gの部分集合Hについて、
(iv)Gの演算・に関して、a, b∈S⇒a・b⁻¹∈H
が成り立つ。

証明
過去に投稿したこの記事を見てください（手抜きじゃないです）

定義４（指数法則）
群Gの元aと１以上の自然数ｎに対し、
aⁿ＝a・a・...・a（aを演算・でn回かけた）
a⁰＝１
a⁻ⁿ＝(a⁻¹)ⁿ
と定義する。

（指数部分の上付き文字はwikipedia「上付き文字」からコピペして使っているため、不自然にずれたりすることがあります）

命題３
aⁱ⁺ʲ=aʲ⁺ⁱ＝aⁱ・aʲ , (aⁿ)⁻¹=a⁻ⁿ

（証明はとても簡単であるため省略）

定義５（生成された部分群）
群Gの部分集合Sについて、
〈S〉＝{x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏ | x₁, x₂, ..., xₙ∈S, i, j, ..., k=±1}を
Sで生成された部分群という。

（定義５は大変読みづらいと思います。申し訳ありません。noteの限界なんです）

命題４
(i)〈S〉はGの部分群である。
(ii) S⊂H を満たす任意の部分群 H は〈S〉⊂H を満たす。

証明
(i) x₁, x₂, ..., xₙ, y₁, y₂, ..., yₘ∈Sとi, j, ..., k, r, s, ..., t=±1に対し、
　(x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏ)・(y₁ʳ・y₂ˢ・...・yₘᵗ)⁻¹
＝(x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏ)・(yₘ⁻ᵗ・...・y₂⁻ˢ・y₁⁻ʳ)
＝x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏ・yₘ⁻ᵗ・...・y₂⁻ˢ・y₁⁻ʳ
これは〈S〉の元だとわかるから命題２より〈S〉はGの部分群。
※2021/08/19：間違いを訂正しました（誤：y₁⁻ʳ・y₂⁻ˢ・...・yₘ⁻ᵗ、正：yₘ⁻ᵗ・...・y₂⁻ˢ・y₁⁻ʳ）

(ii) S⊂Hから〈S〉⊂〈H〉だとわかる。（実際〈S〉の元ｘを１つとると
ｘ＝x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏとなるx₁, x₂, ..., xₙ∈S, i, j, ..., k=±1が存在するが、
S⊂Hよりx₁, x₂, ..., xₙ∈Hとなり、ｘ∈〈H〉）
また、Hは群であるから x₁, x₂, ..., xₙ∈H ⇒ x₁ⁱ・x₂ʲ・...・xₙᵏ∈Hが成り立つ。（命題１(ii)や命題２を繰り返し適用すればわかる）
よって〈H〉=Hなので〈S〉⊂H。▢

（読みづらいわ！というご意見が今後来ましたら、再編集するかもしれません）

Rem
S⊂Gが有限集合のとき、すなわちS＝{x₁, x₂, ..., xₘ}と表されるとき、
〈S〉を〈x₁, x₂, ..., xₘ〉と表す。

例４
整数全体の集合の足し算についての群ℤ={..., －2, －1, 0, 1, 2, ...}に関して、
{2}はℤの部分集合であり、{2}で生成された群〈2〉は
〈2〉={..., －4, －2, 0, 2, 4, ...}＝{2n | n∈ℤ}となる。

問
３次対称群S₃に関して、１,２,３を２,３,１に並び替える置換をσ、１,２,３を１,３,２に並び替える置換を τ とするとき、〈σ〉,〈τ〉,〈σ, τ〉をそれぞれ求めよ。
（解答を有料記事(100円)で投稿しました。ただし、ヒントは無料で閲覧可能です）

3.3.巡回群と（元の）位数

定義６（巡回群）
群Gと元a∈Gに関して〈a〉を巡回群という。

命題５
〈a〉={aᵏ | k∈ℤ}で表される。

証明
逆元の定義からa・a⁻¹＝a⁻¹・aとなることを踏まえると、
〈a〉の任意の元は０以上の整数 i, j を用いて
a・a・...・a・a⁻¹・a⁻¹・...・a⁻¹
＝aⁱ・a⁻ʲ＝aⁱ⁻ʲとなり、i－jは整数のため題意を得る。▢

例５
有理数全体から０を除いた集合ℚは掛け算について群となる。このとき
〈2〉={2ᵏ | k∈ℤ}は位数が可算無限な巡回群となる。

Rem（少し重要）
例5のように、「巡回群」という名前にもかかわらず無限群であるものが存在する。

例６
３次対称群S₃に関して、１,２,３を３,１,２に並び替える置換をδとすると、
〈δ〉は例3で出てきたA₃となる。

Rem
例６のA₃にように、群の部分群でもあり巡回群でもあるものを巡回部分群という。

定義７（元の位数）
群Gの元ａと単位元ｅに対して、aⁿ＝eを満たす最小の自然数ｎをａの位数という。ただし、aⁿ＝eを満たす自然数がない場合は、ａの位数は∞またはａは無限位数であるという。

例７
例６に登場した３次の置換 δ の位数は３。
※2021/08/19：間違いを訂正しました（誤：位数は２、正：位数は３）

命題６（群の位数と元の位数、タイトル回収のつもり）
群Gの元ａの位数がｎのとき、巡回群〈a〉の位数はｎになる。

証明
aの位数がｎのとき、自然数 i に対しaⁿ⁺ⁱ＝aⁿ・aⁱ＝e・aⁱ＝aⁱだから〈a〉の位数はｎ以下であるとわかる。また、1≦ h<k ≦n－1を満たす自然数 h, k に対し、1≦ k－h ≦n－1となるため、元の位数の定義から aᵏ⁻ʰ ≠ｅ。
よってaᵏ ≠ aʰ となるから e, a, a², ..., aⁿ⁻¹はそれぞれ異なるので〈a〉の位数はｎ以上だとわかった。したがって〈a〉の位数はｎ。▢

ここまで読み進めてきた方、お疲れ様です。僕だったら途中で挫折すると思うので、本気で尊敬します。では最後にRemarkを１つ。

Rem
かなり先の話ではあるが、実は位数が６の群は、位数6の巡回群に同型な群か３次対称群に同型な群しかない。（同型の定義はいつか与えます）すなわち、どんなに頑張って奇抜な位数６の群を見つけても、それは所詮、位数６の巡回群か３次対称群に同型である、ということである。

以上

part4を投稿しました。可換群や一般線形群の定義をしました。