群論入門part4 可換群、半群、一般線形群、etc.

※part5が投稿される保証はありません ※追記：投稿しました。
※part3はこちら
※誤植や間違いがあれば教えてください

4.1.可換群（アーベル群）

定義１
演算・で定義された群Gの任意の2元a, b∈Gについて、
a・b＝b・aが成り立つとき、Gを可換群、またはアーベル群という。

※以後は可換群と呼ぶようにするが、筆者自身はアーベル群のほうが使い慣れているのでアーベル群と呼ぶ時があるかもしれない。

例１
足し算＋によって定義された整数群ℤは可換群である。

例２（重要）
巡回群〈a〉は可換群である。実際、〈a〉の任意の元は整数h, kを用いてaʰ, aᵏとあらわされ、aʰ・aᵏ＝aʰ⁺ᵏ＝aᵏ⁺ʰ＝aᵏ・aʰが成り立つ。

Rem
３次対称群S₃は可換群ではないが、S₃の(S₃自身を除く)任意の部分群は可換群になる。（各自確かめよ）一般に、可換群の部分群は可換群だが、可換でない群の部分群が可換群になることはある。

4.2.群に似た集合

定義２
集合Aと演算A×A→A：(a, b)↦a・bについて、Aにおいてこの演算で結合法則が成り立つとき、Aを半群という。特に交換法則も成り立つときAを可換半群という。

問
半群Aの元a, b, c, d, fに対し、a・(b・(c・(d・f)))＝((a・b)・c)・(d・f)が成り立つことを示せ。

定義３
単位元をもつ半群をモノイドという。

Rem
モノイドの元aが逆元をもつとき、aを正則元（または可逆元、単元）という。モノイドの任意の元が正則元ならば群である。群の定義を忘れた方はこちら。

定義４
演算＋で定義された可換群Rにおいて、別のRで閉じた演算×が
・a×(b×c)＝(a×b)×c (a, b, c∈R)が成立
・演算+の単位元を除く任意の元a∈Rに対し1'×a＝a×1'＝aとなる元1'が存在
・a×(b+c)＝a×b＋a×c, (a+b)×c=a×c+b×c (a, b, c∈R)（分配法則）
を満たすとき、Rを環という。また、演算×について交換法則が成り立つ環を可換環という。

Rem
環Rの演算＋の単位元を0, 演算×の単位元を1とあらわすことが多い。

定義５
環Kが次の２条件を満たすとき、Kを体という。
・0≠1
・0を除く各元a∈Kに対しa×b＝b×a=1なる元bが存在する

例３
整数全体の集合ℤは足し算＋に関して群であったが、掛け算×を導入するとℤは環となることがわかる。これを有理整数環と呼ぶ。しかし、ℤの1, －1, 0以外の任意の元a∈ℤに対しa×b＝b×a=1なる元bは存在しないため、ℤは体でないことがわかる。また、これを踏まえると、有理数全体の集合ℚ, 実数全体の集合ℝ, 複素数全体の集合ℂは足し算+と掛け算×について体となる。

4.3.行列からなる群

命題１（一般線形群）
実数Aを成分にもつn×n正則行列全体の集合をGLₙ(A)とする。GLₙ(ℝ), GLₙ(ℂ)はそれぞれ行列の積について群となる。GLₙ(ℝ), GLₙ(ℂ)をまとめて一般線形群という。

証明
GLₙ(ℝ)が行列の積について群となることを示す。
まず、実数ℝを成分にもつn×n正則行列同士の積も実数ℝを成分にもつn×n正則行列となるから、行列の積はGLₙ(ℝ)で閉じた演算である。
また、行列の積は結合法則を満たす。（各自）
n×n単位行列 EₙはGLₙ(ℝ)の元であるためGLₙ(ℝ)の単位元は Eₙ。
n×n正則行列は逆行列をもつため、GLₙ(ℝ)の各元は逆元（逆行列）をもつ。
以上からGLₙ(ℝ)は行列の積について群となる。GLₙ(ℂ)も同様に示される。▢

命題２（特殊線形群）
n×n正則行列A∈GLₙ(ℝ)の行列式をdetAとするとき、
SLₙ(ℝ)＝{A∈GLₙ(ℝ) | detA=1}と定義するとこれはGLₙ(ℝ)の部分群となる。このSLₙ(ℝ)を特殊線形群という。（SLₙ(ℂ)の場合も同様）

※行列式detAの定義を書くのは大変なので省略しますが、
例えば2×2正則実行列A＝(aᵢⱼ)ᵢⱼの行列式はdetA=a₁₁a₂₂－a₁₂a₂₁と定義される。また、行列式の定義にはｎ次対称群が登場する。

命題２の証明（略記）
A, B∈SLₙ(ℝ)に対し、detA=detB⁻¹=1のため、detAB⁻¹=detA×detB⁻¹=1となるからAB⁻¹∈SLₙ(ℝ)▢

※命題２の証明および以降の部分群であることの証明には、以下の事実を用いている

命題３（直交群、特殊直交群）
n×n正則行列A∈GLₙ(ℝ)の転置行列をᵗAとする。
Oₙ(ℝ)＝{A∈GLₙ(ℝ) | ᵗAA=Eₙ}と定義すると、これはGLₙ(ℝ)の部分群となる。さらに、SOₙ(ℝ)＝Oₙ(ℝ)∩SLₙ(ℝ)もGLₙ(ℝ)の部分群となる。Oₙ(ℝ)を直交群といい、SOₙ(ℝ)を特殊直交群という。（Oₙ(ℝ)、SOₙ(ℝ)の場合も同様）

※A＝(aᵢⱼ)ᵢⱼの転置行列は、ᵗA＝(aⱼᵢ)ᵢⱼと定義される。

Rem（少し重要）
一般に群Gの部分群A, Bが与えられたとき、共通部分A∩Bも群Gの部分群となる。実際、a, b∈A∩Bのとき、A, Bは群Gの部分群だからa・b⁻¹∈Aかつa・b⁻¹∈Bが成り立つので、a・b⁻¹∈A∩B。

命題３の証明（略記）
A, B∈Oₙ(ℝ)ならば、ᵗ(AB⁻¹)(AB⁻¹)=(ᵗB⁻¹ᵗA)(AB⁻¹)=ᵗB⁻¹(ᵗAA)B⁻¹=ᵗB⁻¹B⁻¹=EₙとなるのでAB⁻¹∈Oₙ(ℝ)。また、Oₙ(ℝ)、SLₙ(ℝ)はいずれもGLₙ(ℝ)の部分群なので、上のRemよりSOₙ(ℝ)もGLₙ(ℝ)の部分群。▢

命題４（ユニタリ群、特殊ユニタリ群）
n×n正則複素行列A∈GLₙ(ℂ)のn次ユニタリ行列をA†とする。
U(n)＝{A∈GLₙ(ℂ) | A†A=Eₙ}と定義すると、これはGLₙ(ℂ)の部分群となる。さらに、SU(ℂ)＝U(n)∩SLₙ(ℂ)もGLₙ(ℂ)の部分群となる。U(ℂ)をユニタリ群といい、SU(n)を特殊ユニタリ群という。

※aⱼₖ, bⱼₖをそれぞれ実数としてA=(aⱼₖ+bⱼₖi)ⱼₖとするとき、n次ユニタリ行列はA†=(aₖⱼ－bₖⱼi)ⱼₖと定義される。だいぶわかりにくいかもしれませんが、言い換えると、行列A∈GLₙ(ℂ)に対して、各成分を共役複素数に変えた行列をBとし、Bの転置行列ᵗBがAのn次ユニタリ行列A†となる。

命題４の証明（略記）
A, B∈U(n)ならば、(AB⁻¹)†(AB⁻¹)=(B⁻¹†A†)(AB⁻¹)=B⁻¹†(A†A)B⁻¹=B⁻¹†B⁻¹=Eₙとなるため、AB⁻¹∈U(n)。▢

以上

追記
part5を投稿しました。剰余類についてです。