算数の特殊算（ほとんどの文章題は１つの式で解ける）

算数の文章題のうち、特殊算といわれるもののうちの多くは、実はたった１つの式を使って解くことができます。

その式とは、
（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）
です。

最もわかりやすい例からながめてみましょう。

★過不足算

例題１：クラスの生徒に色紙を分けるのに、１人に５枚ずつ分けると６５枚あまり、１人に８枚ずつ分けると４３枚不足します。クラスの生徒数は何人ですか。

（式）
用意した色紙を基準にしたとき、「６５枚あまる」と、「４３枚不足する」のちがいは６５＋４３＝１０８枚です（例えば、用意した色紙が３００枚のとき、６５枚あまったら使った色紙は２３５枚、４３枚不足するときの必要な色紙は３４３枚、そのちがいは３４３－２３５＝１０８です）。

このちがいがどこから生まれたかというと、１人に５枚配ったか８枚配ったかで、１人に配った枚数が８－５＝３枚ちがったからで、その全部の合計が合わせて１０８枚になったからです。

だから、クラスの人数は（６５＋４３）÷（８－５）＝１０８÷３＝３６人。

全部で１０８枚のちがいがあって、それを１人分のちがいの３枚でわると答えを求めることができました。

（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で求めることができました。

★差集め算

例題２：１本７０円の鉛筆と、１本１２０円のボールペンを同じ本数ずつ買ったら、鉛筆の代金とボールペンの代金の差が５００円になりました。鉛筆とボールペンを何本ずつ買いましたか。

（式）
過不足算より簡単です。
１本で１２０円－７０円＝５０円ちがって、全部で５００円ちがってきたので、５００÷（１２０－７０）＝５００÷５０＝１０。

答えは１０本です。

まさしく、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で解くことができます。

★旅人算

例題３：兄は分速６０ｍ、弟は分速４５ｍで歩きます。弟が出発してから６分後に兄が弟のあとを追って出発すると、兄は出発してから何分後に弟に追いつきますか。

（式）
兄が出発したとき、弟がいくら離れたところにいるかを考えると、分速４５ｍで、６分前に出発しているので、その離れた距離は４５×６＝２７０ｍです。
全部で２７０ｍ、離れていると考えます。

兄の分速が６０ｍ、弟が分速４５ｍなので、１分に進む距離のちがいは６０－４５＝１５ｍです。

全部で２７０ｍ離れていて（ちがっていて）、１分間に進むちがいが１５ｍだから、
４５×６÷（６０－４５）
＝２７０÷１５
＝１８
１８分で追いつきます。

やはり、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で解くことができました。

★消去算

例題４：鉛筆３本とボールペン４本の代金は５７５円で、同じ鉛筆３本とボールペン１本の代金は２９０円です。ボールペン１本の代金はいくらですか。

（式）
代金のちがいは５７５－２９０＝２８５円でした。
この差は、ボールペンが４－１＝３本分ちがうことから生じた差です。

代金のちがい÷ボールペンの本数のちがいより、
（５７５－２９０）÷（４－１）
＝２８５÷３
＝９５
ポールペン１本の代金は９５円です。

おおざっぱに言うと、やはり、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）の式だということができます。

★つるかめ算

例題５：１本９０円の鉛筆と１本１２０円のボールペンをあわせて１２本買って、１３２０円払いました。ボールペンは何本買いましたか。

（式）
準備として、１本９０円の鉛筆だけを１２本買ったとしたら代金は何円になるか、「片方だけを買ったとしたら」と仮定して計算をしておかないといけないことが今までの問題とは違いますが、あとは同じです。

９０×１２＝１０８０円。
１本９０円の鉛筆だけを買うと仮定すると、代金の合計は１０８０円です。

実際の代金、１３２０円と仮定の代金１０８０円とのちがいは、何本かは９０円の鉛筆ではなくて１本１２０円のボールペンを買ったからです。

（１３２０－９０×１２）÷（１２０－９０）
＝２４０÷３０
＝８
買ったボールペンの本数は８本です。

やはり、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）の式でした。

★年齢算

例題６：いま、とし子さんは８歳で、お母さんは３４歳です。お母さんの年齢がとし子さんの年齢の３倍になるのは、今から何年後ですか。

（式）
つるかめ算と同様に、とし子さんの年齢の３倍を仮定して解くことだけが準備として必要です。

８歳の３倍は２４歳。

１年に、とし子さんもお母さんも１歳ずつ年齢は増えていきますが、とし子さんの３倍を考える問題なので、とし子さん年齢の３倍は１年に１×３増えることになります。

今のお母さんの年齢ととし子さんの年齢の３倍とのちがいが３４－８×３で、これを、１年にとし子さんの増える年齢の３倍とお母さんの１年に増える年齢の１歳との差でわればよいので、
（３４－８×３）÷（１×３－１）
＝１０÷２
＝５
答えは５年後です。

この問題も、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）だといえないこともありません。

以上のように、特殊算と呼ばれる文章題のうち、（倍や割合がからまない問題の）多くは、同じ式の形で、同じ考え方を使って解くことができます。

そのことを知っていたら、自信をもって式を立てることができるようになります。

また、ここで取り上げた問題より一見難しそうに見える応用問題も、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）という基本の式の変形に過ぎないと考えることで、的をはずさずに思考できるようになります。