#5 この１問！常に成り立つ不等式～絶対不等式と最大最小～

問題

とりあえず，問題を解いてみてくださいね！

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テーマ

すべての実数$${x}$$に対して，常に成り立つ不等式（受験用語で絶対不等式と呼ばれるもの）に関する問題です。解法さえ分かってしまえば容易です。

解答

絶対不等式$${a \le f(x)\le b}$$は，
$${「f(x)の最小値」\ge a}$$かつ$${「f(x)の最大値」\le b}$$
を満たす条件を考えればよい。すなわち，「絶対不等式の問題は，最大最小問題」に過ぎない。

さらなる工夫としては，$${f(t)=2t^2+2at+b-1}$$の最大値と最小値を場合分けして求めていけば問題を解くこともできるが，
$${「f(x)の最小値の候補すべて」\ge a}$$かつ
$${「f(x)の最大値の候補すべて」\le b}$$
と考えて十分である。

求める存在範囲は境界線を含む下図の斜線部です。境界線同士の位置関係は丁寧に調べて図示しましょう。

絶対不等式を題材として問題でした。最大最小問題に過ぎないので，難しくとらえすぎないようにしましょう。領域の図示も入試では頻出です。丁寧に図示できるようにしましょう。何度も繰り返し解いておきたい問題ですね！