【高校情報Ⅰ参考書共通テスト対策】区間推定・カイ二乗検定（χ２乗検定）・クロス集計・９５％信頼区間/教科書完全準拠 統計学
区間推定・χ２乗検定（カイ二乗検定）・クロス集計・９５％信頼区間
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【文字おこし】
今回は、区間推定、クロス集計、χ（かい）二乗検定について説明していきます。
事前知識として、以前動画解説した母集団と標本とZ検定、ｔ検定についての知識が必要になります。
知識習得が未だの方は概要欄に貼ってあるURLから先に確認頂けると幸いです。
以前、母集団と標本の説明の中で １０万個のどらやきの母集団の中から、１００個のどら焼きを無作為に抽出する話をしました。
無作為に抽出しても、母平均と標本平均には誤差が発生する可能性があります。
また、１回目の抽出は平均１０１ｇ ２回目は９９ｇと言ったように標本内でも取得するたびに差が出る可能性があります。
標本をもとにして調査し確率的に母集団がどのような値を持っているかを推測することを、推定と言います。
テキスト的な表現だと、「標本における一定の法則を母集団に当てはめて推し量る」ことを推定といいます。
推定には、母平均μ＝１００と言ったように１点で表す 点推定や
９５≦μ≦105 と言ったように推定値に一定の幅を持たせる区間推定があります。
今回は区間推定について掘り下げて説明していきます。
先ほど、標本平均にも誤差が発生すると話しましたが、何度も母集団から抽出しその平均値の発生頻度を調べると標本平均も正規分布となります。
区間推定では、この正規分布の９５％に属する範囲は高い確率で信頼できるとして、その範囲を９５％信頼区間と言います。
Z値になおすと、両端２．５％の位置は１．９６でそれを基準に内側に属する区間になります。
具体的な数式で説明します。
母分散が分かっている場合と分かっていない場合で分かれます。
数式だけだと分かりずらいと思うので具体的な数値を当てはめながら練習問題を解いて行きましょう。
――
★練習問題
母集団の母分散は２５．０ということが分かっている。
この母集団から１００個を標本として無作為に抽出したところ、標本平均は８．６０であった。
母平均μの９５％信頼区間を求めてください。
★パワポ参照
つぎはクロス集計とΧ（かい）２乗検定について説明していきます。
とある高校の１年生と２年生を対象に、学校の校則変更に賛成か反対かのアンケートを取った結果です。
この高校では１年生が２２０人 ２年生が１８０人です。
１年生で賛成は１７５人 反対は４５人
２年生で賛成は１２５人 反対は５５人 でした。
賛成の合計は３００人 反対の合計は１００人になります。
１年生と２年生の合計人数は４００人になります。
この表をクロス表と言い、このような集計作業をクロス集計と言います。
この結果から １年生と２年生の回答に有意な差があるといえるかを調べる仮説検定方法にカイ２乗検定があります。χの記号はエックスのように見えますが、χ かい と読みます。パソコンで かい と入力しても候補として出てきます。
仮説検定なので帰無仮説と立証したい対立仮説が必要になります。
帰無仮説は、１年生と２年生で有意な差は無い
対立仮説は １年生と２年生で有意な差がある とします。
χ二乗検定を行う上で期待度数という知識が必要になってきます。
期待度数は、アンケート結果の合計が分かっている状態で、全体の割合から考えて期待される数になります。
たとえば１年生で賛成の人の期待度数は 賛成の合計３００×１年生の合計人数２２０÷全体人数の４００ を計算すると１６５になります。
１年生で反対の人の期待度数は 反対の合計１００×１年生の合計人数２２０÷全体人数の４００ を計算すると５５になります。
２年生も同様に計算すると１３５と４５になります。
χ２乗検定のχ２乗値は （実測度数―期待度数） の２乗 ÷ 期待度数 の値を合計になります。
この式からわかることは・・
• 期待度数と観測度数が完全に一致すれば、χ２乗値はゼロになる
• 逆に、不一致（ずれ）が大きくなれば、χ２乗値は大きな値になる
期待度数に実測度数がどの程度一致しているか調べる検定を適合度検定と言い
χ二乗検定も適合度検定の１つになります。
１年生の賛成のセルについては （１７５―１６５）の２乗 ÷ １６５の式で計算すると、小数第５位を四捨五入して０．６０６０ となります。
他のセルも同様に計算していき 値を合計したχ２乗値は 5.3869となります。
ここで求めたχ２乗値が今までのｔ値やＺ値に相当するものと思ってください。
有意水準５％のχ２乗分布表はこちらになります。
ここの自由度について説明していきます。
自由度は自由に決められるあたいの数ことで
たとえばこのクロス集計表で合計が既に決まっている状態の表の場合、１つのセルに値を入れると他のセルの値はきまります。
左上に２００をいれると その右側は合計の２２０―２００で２０となります。
下がわは３００―２００で１００となります。そのとなりは１８０―１００で８０となります。
なので自由に決められる値は１つだけで自由度は１になります。
セルの数が増えるほど自由度は増えますが
（行数―１）×（列数―１） で簡単に求めることができます。
今回は行数は２ 列数も２ なので 計算すると１になり 先ほど説明した数と一致しました。
今回は自由度１なのでχ二乗分布表では限界値は３．８４１となります。
今回求めたχ２乗値の５．３８６９は限界値を上回っているので、帰無仮説を棄却し、１年生と２年生で有意な差があるということになります。
――
今話した計算はエクセルを使って簡単に実施することが可能です
まず右上の期待度数は賛成の合計×１年生の合計／全体合計 で各セルを指定します。
オートフィルを使ってコピーできるようにドルマークを付けて絶対参照にしていきましょう。
賛成の合計は、行は固定なので行の前にドルマークを付けます。
F4キーを何度か押してドルマークの位置を変更できます。
学年の合計は列は固定なので、列の前にドルマークを付けます。
全体合計は列も行も固定なので、すべてにドルマークを付けます。
オートフィルを使ってコピーすると期待度数がすべて埋められました。
次にｐ値を求めていきます。
この結果になる確率になります。これはＣＨＩＴＥＳＴ（カイテスト）関数を使います。
第一引数に実測度数を範囲指定します。
第二引数に期待度数を範囲指定します。
Ｐ値が算出されました。約２％の確率で起こる結果になります。
次にχ２乗値を求めます。これはＣＨＩＩＮＶ（カイ・インバース）関数を使います。
第一引数に先ほど求めたｐ値、第二引数に自由度をしていすると、χ２乗値が算出されます。
今日の区間推定、クロス集計、χ２乗検定の説明は以上になります。
最後までご視聴ありがとうございました。
【解説重要用語】
区間推定、９５％信頼区間、クロス集計、クロス表、χ二乗検定（カイにじょうけんてい）、期待度数、実測度数、χ二乗値、適合度検定、χ二乗分布表、χ二乗検定の自由度、
★私の目標
「とある男が授業をしてみた」 の葉一さん
https://www.youtube.com/user/toaruotokohaichi
※Google社に招待頂いた、「YouTube教育クリエイターサミット2020」で
葉一さんと文部科学省・Google役員の対談セッションに感銘を受けて、高校情報講座スタートしています。
【参考サイト・参考文献】
数学嫌いのための社会統計学〔第2版〕
https://www.amazon.co.jp/s?k=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AB%8C%E3%81%84&ref=nb_sb_noss
※佛教大学 情報科教員養成 基礎統計学のテキスト
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 - YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCqmWJJolqAgjIdLqK3zD1QQ
文部科学省 「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm
詳細（情Ｉ703 高校情報Ｉ Python）｜情報｜高等学校 教科書・副教材｜実教出版 (jikkyo.co.jp) 検定通過版
https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/22023322
令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」｜高等学校 情報｜日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
https://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/joho/2022_joho01_1/textbook/
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