モーメント母関数の件

モーメント母関数…それは、便利そうでなんだかわからん代表選手。
モーメント母関数を使えば、期待値や分散(や歪度・尖度)を簡単に求めることができます。なぜなら「モーメント母関数 $${M_{X}(t)}$$を $${n}$$回微分して$${t=0}$$を代入すると$${E(X^n)}$$となる」ため。(…なぜ..?)

まずは$${𝑒^𝑥}$$のマクローリン展開

とりあえずは$${𝑒^𝑥}$$が以下のように展開されるんだな〜と思ってください。

$${𝑒^𝑥 = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} + ...}$$

ここで $${𝑥}$$の部分を $${tX}$$ としたら以下式が出来上がります。

$${𝑒^{tX} = 1 + {tX} + \frac{{tX}^2}{2!}+ \frac{{tX}^3}{3!}+ \frac{{tX}^4}{4!} + ...}$$

そして$${𝑒^{tX}}$$の期待値を計算すると以下式になります。

$${E(𝑒^{tX}) = 1 + tE(X) + \frac{t^2}{2!}E(X^2)+ \frac{{t}^3}{3!}E(X^3)+ \frac{{t}^4}{4!}E(X^4) + ...}$$

要はこの$${E(𝑒^{tX})}$$が、$${M_{X}(t)}$$の正体です。( 以下$${E(𝑒^{tX})}$$を$${M_{X}(t)}$$に置き換え )
ここで$${M_{X}(t)}$$を1階微分すると以下式が出てきます。

$${M'_{X}(t) = E(X) + \frac{2t}{2!}E(X^2)+ \frac{3{t}^2}{3!}E(X^3)+ \frac{4{t}^3}{4!}E(X^4) + ...}$$

そして$${ 𝑡=0}$$ とすると$${E(X)}$$が残ります。

次に𝑀𝑥(𝑡)を2階微分すると以下式が出てきます。

$${M''_{X}(t) = \frac{2}{2!}E(X^2)+ \frac{6{t}}{3!}E(X^3)+ \frac{12{t}}{4!}E(X^4) + ...}$$
そして$${t=0}$$とすると$${E(X^2)}$$のみが残ります。

以上で「モーメント母関数 $${Mx(t)}$$を $${n}$$回微分して$${t=0}$$を代入すると$${E[X^n]}$$となる」がなんとなく理解できたのではないでしょうか？！

最後に

もし間違っていたら教えてください。