和歌山県｜公立高校入試確率問題2024

　箱Ａの中に，１，２，３，４，５の数字が１つずつかかれた５枚のカードが，箱Ｂの中に，「$${6+a}$$」，「$${6-a}$$」，「$${6×a}$$」の式が１つずつかかれた３枚のカードが入っている。
　箱Ａ，箱Ｂの中からカードを１枚ずつ取り出し，箱Ａから取り出したカードにかかれた数を$${a}$$とし，箱Ｂから取り出したカードにかかれた計算をするとき，その結果が奇数になる確率を求めなさい。
　ただし，どのカードを取り出すことも，それぞれ同様に確からしいものとする。

分類：１７　お互いに影響しない2つの偶然

計算式カードは新しい

　数式がカードに書いてあるのは工夫している出題です。このnoteでは、偶然が２つ起こるなら表をつくって全ての場合を並べつくしましょう、ということをお勧めしています。というわけで、表をかくとこんな感じになりますか？

　表の１マスひとマスが起こりうる１つの場合を表しています。それぞれのマスに対応することがらが起こることは同様に確からしく、１５マスあります。したがって起こりうる全ての場合の数は１５通り。

　あとは、この１５マスの計算結果を埋めればよいでしょうか。

　$${\dfrac{6}{15}=\bm{\dfrac{2}{5}}}$$となります。

答

$${\bm{\dfrac{2}{5}}}$$

もっとスピードアップするために

　$${6+a}$$や$${6-a}$$に代入した結果が奇数になるということを考えてみましょう。
　　偶数＋偶数＝偶数
　　偶数－偶数＝偶数
　　偶数＋奇数＝奇数
　　奇数－偶数＝奇数
　６はもちろん偶数ですので、$${a}$$が奇数であれば計算結果は奇数になります。
　一方、偶数にどんな自然数をかけても偶数になりますから、箱Ｂで$${6×a}$$が出てしまったら、箱Ａで何のカードをひこうが、条件には合いません。

　計算結果の値を表に入れずとも、条件に合うか判定することができます。

【研究】樹形図で解くのは？

　サイコロ以外の問題は「樹形図」で解くのが標準的な解法とされています。しかし、樹形図を問題文のＡ→Ｂの順番で

とかいて考えてしまうと、１を３つの式にそれぞれ代入して、２を３つの式に‥という方向で埋めていくことになり、やってみると、ちょっと面倒な印象です。

　樹形図をかくなら、Ｂ→Ａの順にかくと、１つの文字式に、代入する数を１〜５で変えて計算していく感じになり、こっちの方が頭を切り替えずに計算しやすいのでは、と思います。Ａ→Ｂの順よりも、手順としてはいいような気がするのです。

　樹形図ではなく表をかくと、この「方向のすりかえ」はしれっとできるわけです。横に埋めていくのか、縦に埋めていくのか、文字通り縦横無尽に考えられます。

　そして、すべての場合を図表を使ってもれなくダブりなく並べ尽くすとき，樹形図が適しているのか，表が適しているのか，切り替えができるとより力がつくと思うのです。
　偶然（試行）が２つのときは，樹形図よりも表の方がすっきり考えやすいことが多い、ということを知っているといいのでは？　というのが、このnoteのシリーズの一貫した主張です。