静岡県｜公立高校入試確率問題2021

　１から３までの数字を１つずつ書いた円形のカードが３枚，４から９までの数字を１つずつ書いた六角形のカードが６枚，１０から１４までの数字を１つずつ書いた長方形のカードが５枚の，合計１４枚のカードがある。図２は，その１４枚のカードを示したものである。
（図挿入）
　１から６までの目がある１つのさいころを２回投げ，１回目に出る目の数を$${a}$$，２回目に出る目の数を$${b}$$とする。このとき，次の問いに答えなさい。
（ア　確率分野ではない独立した問題なので省略）
イ　１４枚のカードから，カードに書かれている数の小さい方から順に$${a}$$枚取り除き，さらにカードに書かれている数の大きい方から順に$${b}$$枚取り除くとき，残ったカードの形が２種類になる確率を求めなさい。ただし，さいころを投げるとき，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

分類　応用編❹取り除く

条件からさかのぼって考えるしか・・・

　このnoteのシリーズの解き方としては、さいころ２回は表をかいて，表の計３６マスについて、それぞれ条件を満たすかどうか考える，という解き方をすすめているのですが，この問題は問題文を読んで「ということは」と条件を読み替えをして、条件から絞っていくやり方が，圧倒的に早くなる問題です。

残ったカードの形が２種類になるということは・・・

　残ったカードの形が２種類になるとき、その２種類とは
（場合１）円と六角形
（場合２）六角形と四角形
のどちらかです。それぞれ同時には起こらないので、場合１と場合２でそれぞれ分けて考えることにします。

（場合１）円と六角形

　少なくとも（円のいちばん端の）３番目はのこっていないといけないので、$${a}$$は３以上が出てしまうとアウト。つまり１か２である必要があります。一方、四角形はすべて取り除かれるので、$${b}$$は５以上、つまり５か６ということになります。

（場合２）六角形と四角形

　今度は円はすべて取り除かれますので、$${a}$$は３以上。四角形は残っていないといけませんので、少なくとも左から５番目の１０番は残っています。つまり$${b}$$は４以下でなければいけません。

　場合１と場合２で考えた条件を満たすところの枠に印をつけると、下のようになります。これらの条件を満たすのは２０通りということになりますので、求める確率は$${\dfrac{20}{36}=\bm{\dfrac{5}{9}}}$$になります。

８０ＯＫ受８９㋔l。，

答

$${\bm{\dfrac{５}{９}}}$$

【研究】「じゃない方」を考えてみる

　さて、この表を見たときに、「じゃない方の方が少ないじゃないか，こっちを数えた方が早かったかも」と思う人がいるかも知れません。ところが、このときも場合分けになります。

（場合A）３種類が残っているとき

$${a}$$は３未満（１か２）かつ、$${b}$$は５未満（１～４）

（場合B）１種類しか残らないとき

円形だけが残るとか四角形だけが残るということは、この場合はあり得ないので、１種類残るということは六角形だけが残る、ということになる。こうなるのは、$${a}$$は３以上（３～６）、$${b}$$は５以上（５か６）

　この場合は、やってみたらこうだった、と言うことなので，あらかじめこちらからアプローチしたら楽だった、ということにはなりません。見極めが難しいところで、そういうときは正攻法でいくしかありませんね。