福井県｜公立高校入試確率問題2017

　右の図のように，正五角形ＡＢＣＤＥと，［１］，［２］，［６］と書かれたカードがそれぞれ１枚ずつ入った箱がある。点Ｐは最初，頂点Ａにあり，【手順】に従って点Ｐを移動させる。

【手順】
［１］　箱の中からカードを１枚取り出し，書かれた数を調べ，取り出したカードはにもどす。
［２］　［１］の操作をもう１回行う。
［３］　点Ｐを［１］と［２］で調べた数の和だけ，反時計回りに頂点を順に１つずつ移動させる。
例えば，取り出したカードが順に，［６］，［２］のとき，点Ｐは頂点Ｄに移動する。
　このとき，次の問いに答えよ。ただし，カードの取り出し方は，同様に確からしいとする。
　
（１）点Ｐが頂点Ｃに移動する確率を求めよ。
　
（２）　この３枚のカードのときは，点Ｐが頂点Ａに移動する確率は０である。そこで３枚のカードのうち，［６］だけを他の自然数が書かれたカードに交換して，点Ｐが頂点Ａに移動する確率が０でないようにしたい。どのような自然数が書かれたカードに交換すればよいか，その自然数について，言葉や数，式などを使って，すべての場合を説明せよ。

分類：応用〈２〉　動かす②　循環型

まずは表で考えてみることにします。

　（１）は、点Ｐが頂点Ｃに移動するのは４通りなので、その確率は$${\bm{\dfrac{4}{9}}}$$。

（２）はなかなか奥が深いよ

　［６］のカードの代わりに何かを入れると，表は次のようになる。

　○のときにAに止まる条件、△のときにAに止まる条件、◇のときにAに止まる条件をそれぞれ考えればよい、ということになります。

○でAに止まるとき・・　まずは（［６］の代わりに）［４］であれば１周してAに止まります。しかし問題文には「他の自然数」となっていて、その範囲は書かれていないことに注意。２周する［９］でも、３周する［１４］でも、４周する［１９］でも・・・・と永遠に続くことに気がつくかどうか，がポイントとなります。４に５、１０、１５・・・をたした数です。

△でAに止まるとき・・　同じように［３］であれば１周してAに止まります。やっぱり５をたしていって、［８］だと２周、［１３］だと３周・・・となります。

◇でAに止まるとき・・［５］がここにあてはまることに気づきましたか？２周しますが，止まりますね。上と同じように５をどんどんたしていった［１０］，［１５］，［２０］でも大丈夫ですね。

　これら３つを、伝わるようにどう書いたらいいか、・・・答を見てください。

答

（1）　$${\bm{\dfrac{4}{9}}}$$
（2）　答え方の例１：「５でわって４あまる自然数」か「５でわって３あまる自然数」か「５でわりきれる自然数」
　答え方の例２：$${k}$$を自然数とすると、$${5k}$$，$${5k-1}$$，$${5k-2}$$
　答え方の例３：「５の倍数から１を引いた数」か「５の倍数から２を引いた数」か「５の倍数」（教育委員会の解答例）

確率の問題・・・なのだろうか？

　点Ｐが頂点Ａに移動する確率が０でないということは、点Ｐが頂点Ａに移動する場合が少なくとも１つあればよい。点Ｐが頂点Ａに移動するのは、取り出したカードの数の和が５でわり切れるときである。交換するカードに書かれた自然数を$${n}$$とすると、取り出されるカードの組合せの全ての場合は
①｛１，１｝
②｛１，２｝
③｛２，２｝
④｛１，$${n}$$｝
⑤｛２，$${n}$$｝
⑥｛$${n}$$，$${n}$$｝の６通りで，①～③は、交換前と変わらず５ではわり切れない。
　④の組合せの場合で１＋$${n}$$が５でわり切れるのは、$${n}$$が５でわって４あまる数のときである。
　⑤の組合せの場合で２＋$${n}$$が５でわり切れるのは、$${n}$$が５でわって３あまる数のときである。
　⑥の組合せの場合で$${n+n=2n}$$が５でわり切れるのは、$${n}$$が５でわりきれる数のときである。
　$${n}$$はこの④～⑥のいずれかにあてはまる数であればよい。