（資料）学習指導要領 確率・場合の数に関する部分
小学校６年生
Ｄ（２）起こり得る場合
起こり得る場合に関わる数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
(ア) 起こり得る場合を順序よく整理するための図や表などの用い方を知ること。
イ 次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
(ア) 事象の特徴に着目し，順序よく整理する観点を決めて，落ちや重なりなく調べる方法を考察すること。
第５学年までに，表などを用いて分類整理して表したり読み取ったりすることを学習してきている。
第６学年では，起こり得る全ての場合を適切な観点から分類整理して，順序よく列挙できるようにすることをねらいとしている。
ここで育成される資質・能力は，中学校第２学年で学習する確率などの考察につながっていくものである。
ア 知識及び技能
（ア） 起こり得る場合
第６学年では，起こり得る場合を順序よく整理して調べることができるようにする。起こり得る場合を順序よく整理して調べるとは，思いつくままに列挙していたのでは落ちや重なりが生じるような順序や組み合わせなどの事象について，規則に従って正しく並べたり，整理して見やすくしたりして，誤りなく全ての場合を明らかにすることを指している。
例えば，４人が一列に並ぶ場合を考えるときには，特定のＡに着目して，まずＡが先頭に立つ場合を考える。２番目の位置にＢが並ぶとすれば，３番目はＣかＤになる。次に，２番目の位置にＣが並ぶ場合，Ｄが並ぶ場合と考えを進めていく。そうすると，Ａが先頭に立つ場合は，次の図のように６通りであることを明らかにすることができる。Ａのほかにも，Ｂ，Ｃ，Ｄが先頭に立つことができることから，起こり得る場合を図にかいて調べると 24 通りであることが分かる。
（樹形図 省略）
また，四つのチームの対戦の組み合わせを考えるときには，次の図や表に示すような方法で，全ての場合を落ちや重なりがないように調べていくことができる。
（対角線図，２次元表 省略）
このように，図や表を適切に用いることができるようにする。
イ 思考力，判断力，表現力等
（ア） 事象の特徴に着目し，順序よく整理する観点を決めて，落ちや重なりなく調べる方法を考察すること
順序よく整理する観点を決めること
起こり得る場合を考える際に，落ちや重なりなく調べるには，観点を決めて考えていく。観点を決めるとは，あるものを固定して考えるなどのことである。
例えば，大中小３種類のコインの裏表の出方の場合を調べる場面があるとする。（大コインが表，中コインが表，小コインが表）の場合を考えたのち，大コインは表のまま変えずに，中コインと小コインの場合のみ考えていくようなことである。すると（中コイン表，小コイン裏）（中コイン裏，小コイン表）（中コイン裏，小コイン裏）の四つの場合を見いだすことができ，これ以外の場合はないことが分かる。
落ちや重なりなく調べる方法を考察すること
落ちや重なりなく調べるためには，図や表などに整理して表すことが有効に働く。順序よく調べていこうとしても，場合が多かったり複雑だったりすると，落ちや重なりが発生する可能性が増すことになる。
先のコインの例で考えてみる。（大コイン表，…）などと書いて挙げていくより，記号などを使って表を〇，裏を×で表すことを考えたり，大コイン，中コイン，小コインをそれぞれ位置で（左中右）で表すなどして簡潔に示すことができる。（大コイン表，中コイン表，小コイン裏）を（〇〇×）と表すようなことである。
落ちや重なりがないように考えていくことは，思考や表現の方法を工夫することや，筋道を立てて考えていくことにつながるものである。多様な考えに触れ，それぞれのよさに気付くようにしていく。
中学１年生
Ｄ（2） 不確定な事象の起こりやすさ
（2） 不確定な事象の起こりやすさについて，数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
(ア) 多数の観察や多数回の試行によって得られる確率の必要性と意味を理解すること。
イ 次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
(ア) 多数の観察や多数回の試行の結果を基にして，不確定な事象の起こりやすさの傾向を読み取り表現すること。
解説より・・・
指導に当たっては，実際に多数回の試行をするなどの経験を通して，ある事柄の起こる相対度数が，一定の値に近づくことを実感を伴って理解できるようにする。
多数の観察や多数回の試行の結果を基に不確定な事象について考察する際には，相対度数を確率とみなして用いることが考えられる。
中学２年生
Ｄ（2） 不確定な事象の起こりやすさ
（2） 不確定な事象の起こりやすさについて，数学的活動を通して，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア） 多数回の試行によって得られる確率と関連付けて，場合の数を基にして得られる確率の必要性と意味を理解すること。
（イ） 簡単な場合について確率を求めること。
イ 次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
（ア） 同様に確からしいことに着目し，場合の数を基にして得られる確率の求め方を考察し表現すること。
（イ） 確率を用いて不確定な事象を捉え考察し表現すること。
第１学年において，相対度数は，全体（総度数）に対する部分（各階級の度数）の割合を示す値で，各階級の頻度とみなされることや，多数の観察や多数回の試行の結果を基にして，不確定な事象の起こりやすさの傾向を読み取り表現することなどを学習している。第２学年では，これらの学習の上に立って，同様に確からしいことに着目し，確率を求める方法を考察するとともに，確率を用いて不確定な事象を捉え考察し表現することができるようにする。
場合の数を基にして得られる確率の必要性と意味（アのア）
第１学年において，多数の観察や多数回の試行の結果を基にして確率を学習している。しかし，身の回りにはこれらを基にせずとも，場合の数を基にして確率を求めることができる事象が数多くある。
例えば，さいころを振る場合，その目の出方には６通りあり，どの目が出ることも同様に確からしいとすると，場合の数を基にして得られる確率は１／６であることが分かる。実際にさいころを多数回振ると，それぞれの目が出る回数の割合はどの目についても１／６に安定する傾向が見られる。このように，起こり得るどの場合も同様に確からしいとき，多数回の試行によって得られる確率は，試行回数を増やすにつれて，場合の数を基にして得られる確率に近づくことが知られている（大数の法則）。
確率を求めるには，実際に多数回の試行をするよりも，場合の数に基づいて考えた方が，時間も労力も節約できる。しかし，その反面，不確定な事象について何が分かるのかという確率本来の意味が見失われてしまいやすい。例えば，「さいころを振って１の目が出る確率が１／６である」ことから，「さいころを６回投げると，そのうち１回は１の目が必ず出る」と考えてしまうのは，確率の意味の理解が不十分であることが原因であると考えられる。
指導に当たっては，実際に多数回の試行によって得られた確率と場合の数を基にして求めた確率とを関連付けて，求めた確率を実感を伴って理解できるようにする。
簡単な場合について確率を求めること（アの(イ)，イの(ア)）
起こり得る場合の数を基にして確率を求めるには，同様に確からしいと考えられる起こり得る場合全てを正しく求める必要がある。ここでは小学校第６学年における指導を踏まえ，起こり得る場合を順序よく整理し，落ちや重なりがないように数え上げる。その際，樹形図や二次元の表などを利用して，起こり得る全ての場合を簡単に求めることができる程度の事象を取り上げる。
簡単な場合の例として，２個の硬貨を投げたときの表と裏の出方がある。２個の硬貨の表と裏の出方の全ての場合は（表，表），（表，裏），（裏，表），（裏，裏）の４通りであり，どの場合が起こることも同様に確からしいと考えられる。このうち，２個とも表になる場合は，同様に確からしい４通りの場合のうちの一つであるから，その確率は１／４になる。このとき，「確率が１／４である」とは，先にも述べたように２個の硬貨を４回投げると，そのうちの１回は必ず二つとも表が出るという確定的なことを意味するものではないことに注意する必要がある。
また，上の事例では，表と裏の出方の全ての場合が（表，表），（表，裏），（裏，裏）の３通りであると考え，２個とも表になる確率は１／３であると考える誤りが起こりやすい。この場合，同様に確からしいことに着目し，起こり得る場合を落ちや重なりがないように数え上げられるようにするとともに，実際に多数回の試行をしてその結果と比較し，実感を伴って理解できるようにする。
指導に当たっては，同様に確からしいことに着目し，樹形図や二次元の表などの数学的な表現を用いて説明し伝え合うことを通して，場合の数を基にして得られる確率の求め方を考察し表現できるようにすることが大切である。
確率を用いて不確定な事象を捉え考察し表現すること（イの(イ)）
第１学年では，多数の観察や多数回の試行の結果を基にして，不確定な事象の起こりやすさを読み取り表現することについて学習した。ここでは，場合の数を基にして得られる確率を用いて不確定な事象を捉え考察し表現することについて学習する。
指導に当たっては，確率を求めることだけを目的とするのではなく，不確定な事象に関する問題解決を重視し，生徒が確率を用いて説明することを大切にする。その際，日常生活や社会に関わる事象を取り上げ，確率を用いて説明できる事柄を明らかにすることが必要である。
例えば，くじ引きをするとき，何番目に引くかで当たりやすさに違いがあるかどうか，つまりくじ引きが公平であるかどうかについて，その理由を確率に基づいて説明することが考えられる。この場合，くじ引きのルールを明確にすることの重要性や，ルールを変更すると判断も変わることがあることに気付くように指導することも大切である。
確率を用いて不確定な事象を捉え説明することを通して，「必ず～になる」とは言い切れない事柄についても，数を用いて考えたり判断したりすることができることを理解し，数学と日常生活や社会との関係を実感できるようにする。
〔数学的活動〕
イ 数学の事象から見通しをもって問題を見いだし解決したり，解決の過程や結果を振り返って統合的・発展的に考察したりする活動
○くじ引きが公平である理由を，確率を用いて説明する活動
この活動は，第２学年「Ｄデータの活用」の（2）のイの(イ)「確率を用いて不確定な事象を捉え考察し表現すること」の指導における数学的活動である。ここでのねらいは，例えば「くじ引きをするとき，先に引くか，後に引くか，どちらでもよいか」について判断を求め，その理由について確率を用いて説明することとする。またその過程において，求めた確率に基づいてどのような判断ができるのかを知り，不確定な事象の考察に生かせるようにする。
この活動に生徒が主体的・対話的に取り組むことができるようにし，深い学びの実現につなげることが大切である。そのために，多数回の試行をしたり，起こり得る場合の数を求めたりして簡単な場合について確率を求めることができるよう指導とその計画を工夫する。
こうした指導を踏まえ，くじ引きが公平であるかどうかを説明する活動に取り組む機会を設ける。まず，くじを引く順序によって当たりやすさに違いがあるかどうかについて「先に引いた方が当たりやすい」，「後から引いた方が当たりやすい」，「どちらも同じ」など直観的に予想を立てる。その上で，例えば「５本のうち２本の当たりくじが入っているくじを２人の生徒が引くとき，引く順番によって当たりやすさに違いがあるか」と問題を焦点化する。実際に何回かくじ引きを行うなどして試行の結果からも予想を立てておくようにするとよい。次に，予想が正しいかどうかを調べるために，樹形図などを作って起こり得る場合の数を求め，先に引いた場合と後から引いた場合で当たる確率をそれぞれ計算する。この場合，どちらの確率も２／５となり，確率が等しいことから「引く順序によって当たりやすさに違いがない」と判断し，くじ引きが公平である理由を説明する。その際，各自の説明を他者のものと比較し，不十分な点を指摘し合うなどして，協働的に表現を洗練することが考えられる。確率を求めることができても説明することができない生徒には，確率の意味を見直すように促す。
また，焦点化された問題について，「問題の条件を変えても当たりやすさに違いはないか」と発展的に考え，新たな問題を見いだすことができる。例えば「４本のうち２本の当たりくじが入っているくじを３人の生徒で引くとき，何番目に引いても確率は１／２になるか」など，くじの総数や当たりくじの本数，人数を変えてもくじ引きが公平であるかどうかについて，生徒の疑問に従って自立的に説明し，レポートにまとめ発表する機会を設けることも考えられる。
高校 数学Ａ
（2）場合の数と確率
場合の数と確率について，数学的活動を通して，その有用性を認識するとともに，次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識及び技能を身に付けること。
（ア）集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則などの数え上
げの原則について理解すること。
（イ）具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，順列の総数や組合せの総数を求めること。
（ウ）確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率や期待値を求めること。
（エ）独立な試行の意味を理解し，独立な試行の確率を求めること。
（オ）条件付き確率の意味を理解し，簡単な場合について条件付き確率を求めること。
イ 次のような思考力，判断力，表現力等を身に付けること。
（ア）事象の構造などに着目し，場合の数を求める方法を多面的に考察すること。
（イ）確率の性質や法則に着目し，確率を求める方法を多面的に考察すること。
（ウ）確率の性質などに基づいて事象の起こりやすさを判断したり，期待値を意思決定に活用したりすること。
［用語・記号］ nPr，nCr，階乗，n!，排反
［内容の取扱い］
（2）内容の（2）のアの（ウ）及び（オ）並びにイの（イ）の確率については，論理的な確率及び頻度確率を扱うものとする。
場合の数と確率に関しては，中学校第１学年において，相対度数は，全体（総度数）に対する部分（各階級の度数）の割合を示す値で，各階級の頻度とみなされることや，多数の観察や多数回の試行の結果を基にして，不確実な事象の起こりやすさの傾向を読み取り表現する力などを養っている。さらに，第２学年では，同様に確からしいことに着目し，確率を求める方法を考察するとともに，確率を用いて不確実な事象を捉え考察し表現する力を養っている。具体的には，不確実な事象を取り扱うというこの領域の特質に配慮し，正解を求めることができるということだけでなく，生徒が自分の予測や判断について根拠を明らかにして説明できるようにすることを大切にしている。例えば，「確率が 1／6 である」ことを求めるだけでなく，「確率が１／６である」ことの意味を理解し，それに基づいて「確率が１／６だから…」と判断したり説明したりすることができるようにしている。
「数学A」では，これらを踏まえ，確率の意味や基本的な法則についての理解を深めるとともに，それらに基づいて不確実な事象の起こりやすさを判断したり，期待値を意思決定に活用したりする力などを培う。なお，従前，「数学Ｂ」で取り扱われていた期待値は「数学 A」で取り扱うことに留意する。
また，本科目の「（2）場合の数と確率」を含め統計的な内容は，共通教科情報の「情報Ⅰ」の「（3）コンピュータとプログラミング」のモデル化やシミュレーションとの関連が深く，生徒の特性や学校の実態等に応じて，教育課程を工夫するなど相互の内容の関連を図ることも大切である。
集合の要素の個数に関する基本的な関係や和の法則，積の法則などの数え上げの原則について理解するとともに，具体的な事象を基に順列及び組合せの意味を理解し，事象の構造などに着目して場合の数を求める方法を多面的に考察し，順列の総数や組合せの総数を求めること（ア（ｱ）（ｲ），イ（ｱ））
小学校算数科では，第 6 学年において，具体的な事柄について，起こり得る場合を順序よく整理して調べることを取り扱っている。また，中学校第２学年では，樹形図などを利用して起こり得るすべての場合を列挙することができる程度の事象について，起こり得る場合を順序よく整理し数え上げることによって確率を求めることを取り扱っている。
「数学 A」では，これらを基に，場合の数をもれなく重複なく数え上げる上での基本的な考え方を「数え上げの原則」として整理する。例えば，あるものに着目して分類・整理したり，より分かりやすいものと 1 対 1 に対応付けたり，規則に基づき数の列を作ったりするなどである。これらが場合の数を求める方法を多面的に考察する基礎となる。
その上で，具体的な事象に関する場合の数を樹形図や表に整理して調べる方法を考察することを通して，順列・組合せの総数の求め方の公式を導く。
また，nCr＝nCn-r などの関係式の指導に当たっても，具体的な場合の数を求める過程などでそれらの性質を見いだし，それを一般化させることが大切である。さらに，円順列，重複順列，同じものを含む順列などを取り扱う場合の指導に当たっても，公式を導く過程を振り返らせどのような見方や考え方をしたのかを確認して，そこで働く数学的なものの見方や考え方に着目できるようにすることが大切である。
なお，集合の要素の個数に関する次の公式もここで取り扱う。
n（A∪B）＝n（A）＋n（B）－n（A∩B）
特に，A∩B＝φ ならば n（A∪B）＝n（A）＋n（B）
確率の意味や基本的な法則についての理解を深め，それらを用いて事象の確率や期待値を求めること（ア（ｳ），［内容の取扱い］（2））
確率の捉え方についてはいくつかの考えがあり，例えば，頻度確率，論理的な確率，主観確率，公理的確率などがあげられる。急速に発展しつつある情報化社会では，不確実な事象に対して，データの傾向を読み取って判断や意思決定をすることが求められている。このような社会では，論理的な確率に加えて，頻度確率や主観確率の重要性も高まっている。頻度確率とは，確率を一様な実験を無限回繰り返したときの相対頻度の極限と考えるものである。例えば，さいころの１の目が出る確率は，「さいころを無限回投げたときに１の目が出る頻度」となり，大数の法則により，その値が１／６になると考えられる。論理的な確率は，根元事象が同様に確からしいとき，
事象Ａに含まれる根元事象の数
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全ての根元事象の数
と考えるもので，古典的確率と言うこともある。主観確率は，確率を事象の生起に関する信念の度合いを表現したものでデータの観測とは無関係に先験的に設定できるものと考える。ベイズ推定は主観確率を用いて行われている。また，「同様に確からしい」ということは，いわば主観的に，論理的に判断されたものと考え，論理的な確率も，主観確率の特殊な場合とみなすこともある。このような主観確率に対して，頻度確率は「客観確率」と言われることがある。ただし，頻度確率が前提とする一様な実験，すなわちまったく同じ条件下での実験や観察を無限回繰り返すことは不可能であり，実際には，多数回の観察や試行によって得られる標本における相対度数が確率の推定として用いられる。
ここで述べたような確率の捉え方に対する代表的な立場を知った上で指導に当たることは，生徒の確率の意味の理解を深める上で有用であると考える。
ここでは，論理的な確率及び頻度確率を取り扱う。例えば，中学校で学習した，さいころの１の目が出る確率の意味について振り返って考察させることが考えられる。中学校第１学年では，多数の観察や多数回の試行によって得られる確率として，ある事象の起こる回数の割合はある安定した値をとるという傾向，すなわち「大数の法則」を基にして理解することが求められている。これに対して，中学校第２学年では，同様に確からしいことに着目し，１／６であることを学習している。前者が頻度確率であり，後者は論理的な確率である。
なお，確率の性質や法則としては，次のものを取り扱うことが考えられる。
①任意の事象 A について 0≦P（A）≦1
②空事象φの確率は，P（φ）＝0
全事象Ｕの確率 P は，P（U）＝1
③事象Ａ，Ｂが互いに排反であるとき P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
④事象Ａの余事象の確率 P（￣A）＝1－P（A）
独立な試行や条件付き確率の意味を理解するとともに，確率の性質や法則に着目して確率を求める方法を多面的に考察し，独立な試行の確率や簡単な場合についての条件付き確率を求めること（ア（ｴ）（ｵ），イ（ｲ））
確率の性質や法則を用いて，ある事象が起こる蓋然性・確からしさを数量的に捉えるにはどのように考察し処理したらよいかを多面的に考察する力を培う。
独立な試行は，二つの試行の結果がお互いに影響を及ぼし合わない試行でのことであり，独立な試行Ｓ，Ｔを行うとき，試行Ｓでは事象Ａが起こり，試行Ｔでは事象Ｂが起こる
という事象Ｃの確率は，P（C）＝P（A）・P（B）（確率の乗法定理）となる。このことを用いて，様々な独立な試行の確率を求めることができるようにする。
また，事象の構造が分かりやすい簡単な場合について，条件付き確率を求めることができるようにする。条件付き確率の指導に当たっては，具体例や図を通して，その意味を理解できるようにすることが大切である。例えば，論理的な確率においては，条件付き確率は，すべての根元事象の起こる確率が等しければ，場合の数の数え上げに帰着して考えることができることを，具体例を通して見いださせたり，次のような図に表して考えさせたりすることが考えられる。
（カルノー図？面積図？ 省略）
なお，この条件付き確率の式（一般的な確率の乗法定理）は，原因となる事象が生じた際に結果が生じる確率を計算する方法として，すべての確率に対して基本的な考え方となる。また，この式は，結果が生じたときに原因が生じている主観確率を計算するベイズの定理を導く基になる考え方でもあり，次のようなベイズ統計の基本的な考え方を知った上で指導に当たることも，生徒の確率の意味の理解を深めるために有用であると考える。
まず，データを観測する前に関心のある事象に主観確率（事前確率）を与え，関心のある事象が生じた下での観測データが出現する客観的条件付き確率（標本確率）を求めて乗法定理に基づき掛け算をする。それを用いて，関心のある事象のデータ観測という条件付き主観確率（事後確率）を推定する。これがベイズ統計の基になる考え方である。
確率の性質などに基づいて事象の起こりやすさを判断したり，期待値を意思決定に活用したりすること（イ（ｳ））
日常生活や社会などにおける不確実な事象には，同様に確からしい事象は少ない。したがって，データの相対度数を確率とみなしたり，自ら確率を仮定したりし，それを基に複雑な事象の確率や期待値を求め，それを解釈するという一連の過程を遂行できるようにする。例えば，ある店で，１週間後に行われるイベントに向けて，アイスクリームをどのくらい仕入れるかを考える場面を取り扱うことが考えられる。このとき，右のような図をかいて，p1～p3，q1～q6の値を変えながら売上の期待値の変化や，どの確率が期待値に最も影響があるかを調べる。
（ディシジョンツリー 省略）
さらに，確率を面積比で考えることを取り扱うことが考えられる。例えば，右のようなルーレットで，１等，２等，３等が出る確率は面積比で考えることができ，各賞に賞金を決めれば期待値も計算できる。
（ルーレットの図 省略）
指導に当たっては，日常の事象や社会の事象などに対して，このような考えを適用し判断や意思決定をする場面を設定することが大切である。このように，確率の学習においても，事象を数学化したり，数学的に解釈したりする力を培うようにする。
https://mext.go.jp/content/1407073_05_1_2.pdf
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