（資料）昭和４４年　1969年　学習指導要領　および「指導書」確率部分

　確率が中学で初導入。というか、「現代化」を旗印に、集合論を基盤とする数学を小学・中学で全面的に展開するカリキュラムに。「簡単な場合について，確率を求めること。」の文言もここで初登場。

簡単な場合とは・・・「ある事象Ａの起こる場合の数をrとするとき，nやrが容易に求められ，r/nを計算することによって，事象Ａの確率が求められる簡単な場合について取り上げる。」以上のことは書いてない。

・・・どころか、（ＰやＣの公式までは学習しないが）順列・組合せまで、中学の範囲である。確率では期待値まで学習するのだ。簡単な場合とは？

　ちなみに、この「指導書」の解説による確率は、フォン・ミーゼズの頻度説によっている。ラプラスの古典的確率論をコルモゴロフ公理系につなげる中学高校の今の確率の教科書の解説に慣れ親しんだ現代人からすると、まったく「現代的」ではなく、「頻度論的確率」に基づいているという文脈をつかんでいないと、書いてあることを理解するのにはちょっと大変である。
　しかし、とにかく、この時代の数学者にとっては数学とは「公理」による体系なのである。それが現代的な数学なのだ。教育の場における数学も、現代化をされなければならない。その情念が数学カリキュラムをここまで書き換えた、ということがここでもよく伝わってくる。（そして数学教育者にはとんと迷惑だったわけで、その揺り戻しが「ゆとり３割減」までつながるわけだ。）

中学校指導書　数学編　昭和４５年５月　文部省

第３章各学年の内容
第２節内容の解説
Ｄ確率・統計
〔概観〕
小学校においては，資料を分類整理して，これを表にまとめたり，いろいろなグラフにかいたり，また，そのような表やグラフを読んだりする指導を通して統計的な事象についての見方や考え方を伸ばしてきている。
また，確率については，簡単な事がらについて，場合の数を整理して数えたり，それを検討したりする能力を伸ばすこと，および，資料から求めた割合などを全体の集団についての傾向を表わすと考えることや，蓋然性を表わすのに数が用いられることなど，確率についても一応指導している。
中学校においては，これらを基礎に，さらに充実発展させる。すなわち，従前では，主として第３学年のみに示されていた統計的内容が各学年に示され，第１学年では，従前では第３学年の内容であった度数分布，ヒストグラム，代表値を理解させて資料の傾向を知ることができるようにする。なお，新しく，相対度数が加えられたが，この考えは確率の素地としても重要である。
第２学年では，確率の意味や確率の用い方などを理解させるとともに，簡単な場合における確率の求め方や期待値の意味などを扱う。確率の指導では，簡単な場合について具体例を通して，その考えを理解させること，および，蓋然性を表わすのに数を使うという数についての広い見方をさせることをねらいとしている。
第３学年では，簡単な場合の標準矗差，相関関係および標本調査の考えの基本になる事がらなどを扱い，資料の傾向をとらえる方法についての理解を深めるとともに，標本調査の考えの基本になる事がらを理解させて，統計についての見方・考え万および処理のしかたをいっそう深める。（中略）

【第２学年】
（１）多数の観察や多数回の試行によって得られた結果について，頻度（ひんど）の傾向を表わすのに確率が用いられることを理解させる。
ア　確率の意味。
イ　順列と組合せの考え方。
ウ　簡単な場合について確率を求めること。
エ　期待値の意味。

これまでは，数が確定性を表わすものとして用いられてきたが，蓋然性を表わす面にも数が広く用いられていることを理解させる。
偶然によって支配され，何の規則性もないようにみえる事象も，多数の観察や多数回の試行によって得られた資料を整理してみると，そこに何か数量的な関係や傾向が見いだされる場合がある。確率は，それを数で表わしたものである。
多数の観察の結果として得られるものとしては，たとえば，出生児の男女の比率や，死亡者全体の中での交通事故による死亡率などが考えられる。
多数回の試行の結果として得られるものとしては，たとえば，さいころを投げて１の目の出る確率とか，偶数の目の出る確率などが考えられる。そして，同じ条件のもとでくり返えし〔原文ママ〕行なう多数回の試行によって１の目が出る相対度数は1/6，偶数の目が出る相対度数は1/2に，それぞれ近い値をとることを確かめることができる。
まったく偶然と思われるような事象の中に，ある決まった法則性（傾向）があることを知り，これを表わすのにも数が用いられ，これが確率であることを理解させる。このような数の用い方については，小学校第６学年からしだいに指導されており，中学校第１学年では，相対度数などに関連して指導している。第２学年では，これらの考えをさらに発展させ，確率の意味を理解させ，順列や組合せの考えを用いるなどして，簡単な場合における確率を求め，確率の応用として期待値の意味を理解させる。
アについて
自然現象や社会現象の中には，ある事象が起こるか，起こらないかがまったく偶然に支配されていると思われることが多い。この偶然に起こる現象について，それが起こる確からしさを数わしたものが確率である。この確率の意味について理解させる。
たとえば，２個の硬貨を投げて，２個とも表になる確率について考えてみよう。
まず，２個の硬貨の表・裏の出方のすべての場合をあげてみることが必要である。すなわち，（表，表），（表，裏），（裏，表），（裏，裏）の４通りの場合がある。ここで，各場合の起こることは，同程度に期待できると考えてよいこととする。このことが「同様に確からしい」といわれている。この考えをもとにすると，２個とも表になる場合は，同様に確からしい４通りの場合のうちの一つの場合であるから，その確率を1/4とする。
この場合，同様に確からしいことについては，次の点に注意する必要がある。いま，硬貨の出方を，２個とも表，表１個と裏１個，２個とも裏の３通りの場合と考え，２個とも表になるのは，それら３通りの場合のうちの一つの場合であるから，２個とも表になる確率を1/3としたとしよう。これは，それら３通りの場合は同様に確からしいとは考えられないので，誤りである。
さて，上の確率の1/4という数の意味であるが，２個の硬貨を４回投げれば，いつもそのうちの１回は必らず２個とも表が出るということを確定的なこととしている数ではないということである。しかし，硬貨を投げる回数nを多くし，２個とも表が出る場合の数rを求めて，相対度数r/nを計算し，nをしだいに大きくしていくと，それに伴ってrも大きくなるが，r/nの値はしだいに，上で求めた確率1/4，すなわら０．２５に近づいていくことを見いだすことができる。このことから，２個の硬貨投げを１００回行なえば，２個とも表になる場合は，１００×０．２５＝２５になり，約２５回程度であろうと予想することができる。
このことから，確率を求める方法として，同様に確からしいということに基づいて求める方法と，多数回の試行によって求める方法とが考えられる。この二つの方法について，後者の方法で求めた確率が前者の方法で求めた確率と比べて差が大きいときは，同様に確からしいとしたことに誤りがあるか，試行のしかたにかたよりがあるかということに気づかせる。
また，たとえば，画鋲を投げて針が上向きとなる確率を求めるときは，上向きになるか，そうならないかは同様に確からしいとは考えられないので，実験的に試行を多数回くり返して，その結果をもとにして確率を考えることができる。また，自然現象や社会事象などで，実験をくり返すことのできないものについての確率は，統計的な調査資料をもとにして考えることができる。
以上のように，事象の起こる確率をもとにして，その事象の起こる可能性についての判断をしたり，ニつの事象の起こる確率を比べてその可能性についての比較をしたりすることができる。
イについて
小学校第６学年で，簡単な事がらについて，起こりうる場合を順序よく整理して調べる能力を漸次伸ばしている。
中学校第２学年では，それを発展させて，順列や組合せの考えを明らかにする。たとえば，５個の数字，１，２，３，４，５を用いて２けたの数（２２のように同じ数を用いるものは除く。）を作るとする。ここでは，数字の順序を考慮して，どのように考えれば遺漏重複なくすべての場合をあげることができるかがたいせつである。すなわち，十の位におく数字の選び方は５通りあり，その各場合について一の位におく数字の選び方は４通りであるから,全部では５×４通りの場合がある。
これに対して，５個の数字１，２，３，４，５の中から，ただ二つの数字を取り上げるというときは，順序を考慮しない組合せになるので，さきの２０通りの場合を類別して１０通りになることがわかる。
なお，順列と組合せの指導では，ｎＰｒ，ｎＣｒを記号として学習指導要領に示していないので，これらを用いることは考えていない。
ウについて
確率を求めることは，アにおいてすでに述べたわけであるが，同様に確からしい場合の数を考え，それをもとにして，計算によって求める。すなわち，同様に確からしい場合の数をnとし，これらのn通りの場合のうち，ある事象Ａの起こる場合の数をrとするとき，nやrが容易に求められ，r/nを計算することによって，事象Ａの確率が求められる簡単な場合について取り上げる。
また，多数回の試行実験や多数の統計資料の観察により，その結果をもとにして確率を考えることができる。
エについて
確率の応用として，期待値の意味を理解させる。（中略）

（２）　次の用語を用いることができるようにする。
確率，順列，組合せ，期待値